函数及其表示　·　历年高考数学真题与解析

11．已知函数 $f(x)=4^{x}+\log _{2} x$ ，则 $f\left(\frac{1}{2}\right)=$ $\_\_\_\_$。

11．函数 $f(x)=\frac{1}{x}+\sqrt{1-x}$ 的定义域是 $\_\_\_\_$ ．

11．函数 $f(x)=\frac{1}{x+1}+\ln x$ 的定义域是 $\_\_\_\_$ ．

15．（6 分）已知 $\lambda \in R$ ，函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x-4, x \geqslant \lambda \\ x^{2}-4 x+3, x<\lambda\end{array}\right.$ ，当 $\lambda=2$ 时，不等式 $f(x) <0$ 的解集是 $\_\_\_\_$ $\{x \mid 1

7．（5 分）记函数 $f(x)=\sqrt{6+x-x^{2}}$ 定义域为 D．在区间 $[-4,5]$ 上随机取一个数

$x$ ，则 $x \in D$ 的概率是 $\_\_\_\_$ ．

9．设直线 $l_{1}, l_{2}$ 分别是函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}-\ln x, 01,\end{array}\right.$ 图象上点 $P_{1}, P_{2}$ 处的切线，$l_{1}$ 与 $l_{2}$ 垂直相交于点 $P$ ，且 $l_{1}, l_{2}$ 分别与 $y$ 轴相交于点 $A, B$ ，则 $\triangle P A B$ 的面积的取值范围是

8．如图，矩形 $A B C D$ 中，点 $A$ 在 $x$ 轴上，点 $B$ 的坐标为 $(1,0)$ ．且点 $C$ 与点 $D$ 在函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x+1, x \geq 0 \\ -\frac{1}{2} x+1, x<0\end{array}\right.$ 的图像上．若在矩形 $A B C D$ 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率等于

11.在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若曲线 $y=a x^{2}+\frac{b}{x}$（ $a, b$ 为常数） zxxk过点 $P(2,-5)$ ，且该曲线在点 $P$ 处的切线与直线 $7 x+2 y+3=0$ 平行，则 $a+b$ 的值是 $\_\_\_\_$ ．

23．在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 ，半圆 C 的极坐标方程为 $\rho=2 \cos \theta, \theta \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$
（I）求C的参数方程；
（II）设点 D 在半圆 C 上，半圆 C 在 D 处的切线与直线 $\mathrm{I}: \mathrm{y}=\sqrt{3} \mathrm{x}+2$ 垂直，根据（1 ）中你得到的参数方程，求直线 CD 的倾斜角及 D 的坐标．

4．函数 $f(x)=\log _{\frac{1}{2}}\left(x^{2}-4\right)$ 的单调递增区间为

22．（本小题满分 13 分）
设函数 $f(x)=x-\frac{1}{x}-a \ln x(a \in R)$ ．
（I）讨论函数 $f(x)$ 的单调性．
（II）若 $f(x)$ 有两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ ，记过点 $A\left(x_{1}, f\left(x_{1}\right)\right), B\left(x_{2}, f\left(x_{2}\right)\right)$ 的直线斜率为 $k$ ．问：是否存在 $a$ ，使得 $k=2-a$ ？若存在，求出 $a$ 的值；若不存在，请说明理由。

## 2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）

20．（本小题满分 14 分）
已知函数 $f(x)$ 对任意实数 $x$ 均有 $f(x)=k f(x+2)$ ，其中 $k$ 常数为负数，且 $f(x)$ 在区间 $[0,2]$ 上有表达式 $f(x)=x(x-2)$
（1）求 $f(-1), f(2.5)$ 的值；
（2）写出 $f(x)$ 在 $[-3,3]$ 上的表达式，并讨论函数 $f(x)$ 在 $[-3,3]$ 上！单调性
（3）求出 $f(x)$ 在 $[-3,3]$ 上的最小值与最大值，并求出相应的自变：

的取值．

21．（本小题满分13分）
已知函数 $f(x)=\frac{a}{x}+x+(a-1) \ln x+15 a$ ，其中 $\mathrm{a}<0$ ，且 $\mathrm{a} \neq-1$ ．
（I）讨论函数 $f(x)$ 的单调性；
（II）设函数 $\boldsymbol{g}(\boldsymbol{X})=\left\{\begin{array}{l}\left(-2 x^{3}+3 a x^{3}+6 a x-4 a^{2}-6 a\right) e^{x}, x \leq 1 \\ e \cdot f(x), x>1\end{array} \quad(\mathrm{e}\right.$ 是自然数的底数）。

是否存在 a ，使 $g(x)$ 在 $[\mathrm{a},-$
a］上为减函数？若存在，求 a 的取值范围；若不存在，请说明理由。

## 2010年湖南省高考数学试卷（文科）

22．（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 8 分。
若实数 $x , y , m$ 满足 $|x-m|<|y-m|$ ，则称 $x$ 比 $y$ 接近 $m$ ．
（1）若 $x^{2}-1$ 比3接近 0 ，求 $x$ 的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数 $a , b$ ，证明：$a^{2} b+a b^{2}$ 比 $a^{3}+b^{3}$ 接近 $2 a b \sqrt{a b}$ ；
（3）已知函数 $f(x)$ 的定义域 $D\{x \mid x \neq k \pi, k \in Z, x \in R\}$ 。任取 $x \in D, f(x)$ 等于
$1+\sin x$ 和 $1-\sin x$ 中接近 0 的那个值．写出函数 $f(x)$ 的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）．