2025 天津卷 数学

3． 已知函数 $y=f(x)$ 的图像如下，则 $f(x)$ 的解析式可能为

5． 下列说法错误的是

6． $S_{n}=-n^{2}+8 n$ 。则 $\left|a_{n}\right|$ 前 12 项和

7． $f(x)=0.3^{x}-\sqrt{x}$ 的零点在

9． 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，以右焦点 $F_{2}$ 为焦点的抛物线 $y^{2}=2 p x(p> 0)$ 与双曲线在第一象限的交点为 $P$ ，若 $\left|P F_{1}\right|+\left|P F_{2}\right|=3\left|F_{1} F_{2}\right|$ ，则双曲线的离心率 $e=$

10． 已知 $i$ 是虚数单位，则 $\left|\frac{3+i}{i}\right|=$ $\_\_\_\_$。

11． 在 $(x-1)^{6}$ 的展开式中，$x^{3}$ 项的系数为 $\_\_\_\_$。

12． $l_{1}: x-y+6=0$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，与圆 $(x+1)^{2}+(y-3)^{2}=r^{2}$ 交于 $C, D$ 两点，$|A B|=$ $3|C D|$ ，则 $r=$ $\_\_\_\_$。

14． $\triangle A B C$ 中，$D$ 为 $A B$ 边中点， $\overrightarrow{C E}=\frac{1}{3} \overrightarrow{C D}, \overrightarrow{A B}=a, \overrightarrow{A C}=b$ ，则 $\overrightarrow{A E}=$ $\_\_\_\_$；若 $|\overrightarrow{A E}|=5, A E \perp C B$ ，则$\overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{C D}=$ $\_\_\_\_$。

15． 若 $a, b \in \mathbb{R}$ ，对 $\forall x \in[-2,2]$ ，均有 $(2 a+b) x^{2}+b x-a-1 \leqslant 0$ 恒成立，则 $2 a+b$ 的最小值为 $\_\_\_\_$．

16． （14 分）
在 $\triangle A B C$ 中，$a \sin B=\sqrt{3} b \cos A, c-2 b=1, a=\sqrt{7}$ ．
（1） 求角 $A$ ；
（2） 求边 $c$ ；
（3） 求 $\sin (A+2 B)$ ．

17． （15 分）
正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $4, E, F$ 分别为 $A_{1}, D_{1}, C_{1} B_{1}$ 中点，$C G=3 C_{1} G$ ．
（1） 求证：$G F \perp$ 平面 $E B F$ ；
（2） 求平面 $E B F$ 与平面 $E B G$ 夹角的余弦值；
（3） 求三棱一 $D-B E F$ 的体积。

20． （16 分）
己知函数 $f(x)=a x-(\ln x)^{2}$ ．
① $a=1$ 时，求 $f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程；
② $f(x)$ 有3个零点 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，且 $\left(x_{1}<x_{2}<x_{3}\right)$ 。
（i） 求 $a$ 的取值范围；
（ii） 证明：$\left(\ln x_{2}-\ln x_{1}\right) \cdot \ln x_{3}<\frac{4 \mathrm{e}}{\mathrm{e}-1}$ ．

2025年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷 回忆版）

数学

本试卷分第1卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第1卷1至3页第II卷4至6页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。在天津考生获取更多学习资料祝各位考生考试顺利！

第I卷（选择题）

注意事项：