2025 新课标 II 卷 数学　·　真题与答案解析

2． 已知 $z=1+i$ ，则 $\frac{1}{z-1}=$

3． 已知集合 $A=\{-4,0,1,2,8\}, B=\left\{x \mid x^{3}=x\right\}$ ，则 $A \cap B=$

4． 不等式 $\frac{x-4}{x-1} \geqslant 2$ 的解集是

5． 在 $\triangle A B C$ 中，$B C=2, A C=1+\sqrt{3}, A B=\sqrt{6}$ ，则 $A=$

6． 设抛物线 $C: y^{2}=2 p x(P>0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $A$ 在 $C$ 上，过 $A$ 作 $C$ 准线的垂线，垂足为 $B$ ．若直线 $B F$ 的方程为 $y=-2 x+2$ ，则 $|A F|=$

7． 记 $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{3}=6, S_{5}=-5$ ，则 $S_{6}=$

8． 已知 $0<\alpha<\pi, \cos \frac{\alpha}{2}=\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则 $\sin \left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)=$

9． 记 $S_{n}$ 为等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，$q$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比，$q>0$ 。若 $S_{3}=7 . a_{3}=1$ ，则

10． 已知 $f(x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x>0$ 时，$f(x)=\left(x^{2}-3\right) e^{x}+2$ ，则

11． 双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别是 $F_{1}, F_{2}$ ，左、右顶点分别为 $A_{1}, A_{2}$ ，以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与曲线 $C$ 的一条渐近线交于 $M, N$ 两点，且 $\angle N A_{1} M=\frac{5 \pi}{6}$ ，则

12． 已知平面向量 $\boldsymbol{a}=(x, 1), \boldsymbol{b}=(x-1,2 x)$ ，若 $\boldsymbol{a} \perp(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})$ ，则 $|\boldsymbol{a}|=$ $\_\_\_\_$．

13． 若 $x=2$ 是函数 $f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)$ 的极值点，则 $f(0)=$ $\_\_\_\_$．

14． 一个底面半径为 4 cm ，高为 9 cm 的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为 $\_\_\_\_$cm．

15． （13 分）
已知函数 $f(x)=\cos (2 x+\varphi)(0 \leqslant \varphi<\pi), f(0)=\frac{1}{2}$ ．
（1） 求 $\varphi$ ；
② 设函数 $g(x)=f(x)+f\left(x-\frac{\pi}{6}\right)$ ，求 $g(x)$ 的值域和单调区间．

16． （15 分）
已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，长轴长为 4 ，
（1） 求 $C$ 的方程；
（2） 过点（0，－2）的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A , B$ 两点，$O$ 为坐标原点．若 $\triangle O A B$ 的面积为 $\sqrt{2}$ ，求 $|A B|$ ．

17． （15分）
如图，四边形 $A B C D$ 中，$A B / / C D, \angle D A B=90^{\circ}, F$ 为 $C D$ 中点，$E$ 在 $A B$ 上，$E F / / A D, A B=3 A D, C D=$ $2 A D$ ，将四边形 $E F D A$ 沿 $E F$ 翻折至四边形 $E F D^{\prime} A^{\prime}$ ，使得面 $E F D^{\prime} A^{\prime}$ 与面 $E F C B$ 所成的二面角为 $60^{\circ}$ 。
（1） 证明：$A^{\prime} B / /$ 平面 $C D^{\prime} F$ 。
（2） 求面 $B C D^{\prime}$ 与面 $E F D^{\prime} A^{\prime}$ 所成二面角的正弦值．

18．（17 分）
已知函数 $f(x)=\ln (1+x)-x+\frac{1}{2} x^{2}-k x^{3}$ ，其中 $0<k<\frac{1}{3}$ ．

（1） 证明：$f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 存在唯一的极值点和唯一的零点；
② 设 $x_{1}, x_{2}$ 分别为 $f(x)$ 在区间（ $0,+\infty$ ）的极值点和零点。
（i） 设函数 $g(t)=f\left(x_{1}+t\right)-f\left(x_{1}-t\right)$ ，证明：$g(t)$ 在区间 $\left(0, x_{1}\right)$ 单调递减；
（ii） 比较 $2 x_{1}$ 与 $x_{2}$ 的大小，并证明你的结论．

19．（17 分）
甲、乙两人进行兵兵球练习，每个球胜者得1分、负者得0分。设每个球甲胜的概率为 $p\left(\frac{1}{2}<p<1\right)$ ，乙胜的概率为 $q, p+q=1$ ，且各球的胜负相互独立，对正整数 $k \geqslant 2$ ，记 $p_{k}$ 为打完 $k$ 个球后甲比乙至少多得2分的概率，$q_{k}$ 为打完 $k$ 个的球后乙比甲至少多得2分的概率．

（1） 求 $p_{3}, p_{4}$（用 $p$ 示）
（2） 若 $\frac{p_{4}-p_{3}}{q_{4}-q_{3}}=4$ ，求 $p$ ；
（3） 证明：对任意正整数 $m, p_{2 m+1}-q_{2 m+1}<p_{2 m}-q_{2 m}<p_{2 m+2}-q_{2 m+2}$ ．

2025年全国统一高考数学试卷（新高考II）