2025 上海卷 数学　·　真题与答案解析

1．已知全集 $U=\{x \mid 2 \leq x \leq 5, x \in \mathbf{R}\}$ ，集合 $A=\{x \mid 2 \leq x<4, x \in \mathbf{R}\}$ ，则 $\bar{A}=$ $\_\_\_\_$．

2．不等式 $\frac{x-1}{x-3}<0$ 的解集为 $\_\_\_\_$。

3．等差数列 $a_{n}, a_{1}=-3$ ，公差 $d=2$ ，则 $S_{6}=$ $\_\_\_\_$．

4．在二项式 $(2 x-1)^{5}$ 的展开式中，$x^{3}$ 的系数为 $\_\_\_\_$．

5．函数 $y=\cos x$ 在 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4}\right]$ 上的值域为 $\_\_\_\_$．．

6．已知随机变量 X 的分布为 $\left(\begin{array}{ccc}5 & 6 & 7 \\ 0.2 & 0.3 & 0.5\end{array}\right)$ ，则期望 $E[X]=$ $\_\_\_\_$。．

7．如图，在正四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$B D=4 \sqrt{2}, D B_{1}=9$ ，则该正四棱柱的体积为 $\_\_\_\_$．

8．设 $a, b>0, a+\frac{1}{b}=1$ ，则 $b+\frac{1}{a}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$。

9.4 个家长和2个儿童去爬山．6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有 $\_\_\_\_$种。

10．已知复数 z 满足 $z^{2}=(\bar{z})^{2},|z| \leq 1$ ，则 $|z-2-3 i|$ 的最小值是 $\_\_\_\_$．

13．已知事件 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 相互独立，事件 A 发生的概率为 $P(A)=\frac{1}{2}$ ，事件 B 发生的概率为 $P(B)=\frac{1}{2}$ ，则事件 $A \cap B$ 发生的概率 $P(A \cap B)$ 为（）

14．设 $a>0, ~ s \in \mathbf{R}$ 。下列各项中，能推出 $a^{s}>a$ 的一项是（）

15．已知 $A(0,1), B(1,2), \mathrm{C}$ 在 $\Gamma: x^{2}-y^{2}=1(x \geq 1, y \geq 0)$ 上，则 $\triangle A B C$ 的面积（）

16．设 $\lambda \in[0,1]$ ，数列 $a_{n}=10 n-9$ ，数列 $b_{n}=2^{n}$ 。设 $c_{n}=\lambda a_{n}+(1-\lambda) b_{n}$ 。 若对任意$\lambda \in[0,1]$ ，长为 $a_{n} , b_{n} , c_{n}$ 的线段均能构成三角形，则满足条件的 n 有（）