2019_新课标 III 卷 (2019·理)
12．设函数 $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi}{5}\right)(\omega>0)$ ，已知 $f(x)$ 在 $[0,2 \pi]$ 有且仅有 5 个零点，下述四个结论：
①$f(x)$ 在 $(0,2 \pi)$ 有且仅有 3 个极大值点
②$f(x)$ 在 $(0,2 \pi)$ 有且仅有 2 个极小值点
③$f(x)$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{10}\right)$ 单调递增
④$\omega$ 的取值范围是 $\left[\frac{12}{5}, \frac{29}{10}\right)$
其中所有正确结论的编号是
D
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
【答案】D
【解析】
【分析】
本题为三角函数与零点结合问题，难度大，可数形结合，分析得出答案，要求大，理解深度高，考查数形结合思想。
【详解】 $\because f(x)=\sin \left(w x+\frac{\pi}{5}\right)(w>0)$ ，在 $[0,2 \pi]$ 有且仅有 5 个零点。 $\therefore 0 \leq x \leq 2 \pi$ ， $\frac{1}{5} \leq w x+\frac{\pi}{5} \leq 2 \pi w+\frac{\pi}{5}, \frac{12}{5} \leq w<\frac{29}{10}$ ，（4）正确。如图 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 为极大值点为 3 个，（1）正确；极小值点为 2 个或 3 个。（2）不正确。
当 $0<x<\frac{\pi}{10}$ 时，$\frac{\pi}{5}<w x+\frac{\pi}{f}<\frac{w \pi}{10}+\frac{\pi}{5}$ ，当 $w=\frac{29}{10}$ 时，
$\frac{w \pi}{10}+\frac{\pi}{5}=\frac{29 \pi}{100}+\frac{20 \pi}{100}=\frac{49 \pi}{100}<\frac{\pi}{2}$.
∴（3）正确，故选D．
【点睛】极小值点个数动态的，易错，（3）正确性考查需认真计算，易出错．