数列 a_ n 满足 a_ n+2 +(-1)^ n a_…——2020 高考数学第 16 题答案解析

【答案】7
【解析】
【分析】
对 $n$ 为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用 $a_{1}$ 表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立 $a_{1}$ 方程，求解即可得出结论．

【详解】 $a_{n+2}+(-1)^{n} a_{n}=3 n-1$ ，

当 $n$ 为奇数时，$a_{n+2}=a_{n}+3 n-1$ ；当 $n$ 为偶数时，$a_{n+2}+a_{n}=3 n-1$ ．
设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，
$S_{16}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+\cdots+a_{16}$
$=a_{1}+a_{3}+a_{5} \cdots+a_{15}+\left(a_{2}+a_{4}\right)+\cdots\left(a_{14}+a_{16}\right)$

$=a_{1}+\left(a_{1}+2\right)+\left(a_{1}+10\right)+\left(a_{1}+24\right)+\left(a_{1}+44\right)+\left(a_{1}+70\right)$
$+\left(a_{1}+102\right)+\left(a_{1}+140\right)+(5+17+29+41)$
$=8 a_{1}+392+92=8 a_{1}+484=540$,
$\therefore a_{1}=7$ ．
故答案为： 7 ．
【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学计算能力，属于较难题．