2013_退役省自主命题 (2013·理)
16．（选修 4－4：坐标系与参数方程）
在直线坐标系 $x o y$ 中，椭圆 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=a \cos \varphi \\ y=b \sin \varphi\end{array}\right.$（ $\varphi$ 为参数，$a>b>0$ ）。在极坐标系（与直角坐标系 $x o y$ 取相同的长度单位，且以原点 $O$ 为极点，以 $x$ 轴为正半轴 为极轴）中，直线 $l$ 与圆 $O$ 的极坐标分别为 $\rho \sin \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2} m$（ $m$ 为非零常数）与 $\rho=b$．若直线 $l$ 经过椭圆 $C$ 的焦点，且与圆 $O$ 相切，则椭圆的离心率为 $\_\_\_\_$．
［答案］$\frac{\sqrt{6}}{3}$
［解析］椭圆的一般方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-1$，直线 $>$ 程为 $:-y=m$，圆的方程为 $x^{2}+y^{2}=b^{2}$，又直线与圆相切，所以 $\frac{|m|}{\sqrt{2}}=b$，即 $m^{2}=2 b^{2}$，又直线经过椭圆 C，所以 $c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=m$，故 $a^{2}=b^{2}+m^{2}=\frac{3}{2} m^{2}$，故离心席 $e=\frac{c}{d}=\frac{n}{\sqrt{\frac{3}{2} m^{2}}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$．
［ 考点定位］本题借助直线和椭圆的参数方程，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了综合分析问题和数形结合的思想。
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