（本小题满分 13 分） 设椭圆 x^ 2 a^ 2 +…——2014 高考数学第 18 题答案解析

【解答】
（本小题满分 13 分）
【解析】①设椭圆右焦点 $F_{2}$ 的坐标为 $(c, 0)$ ．由 $|A B|=\frac{\sqrt{3}}{2}\left|F_{1} F_{2}\right|$ ，可得 $a^{2}+b^{2}=3 c^{2}$ ，又 $b^{2}=a^{2}-c^{2}$ ，则 $\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{1}{2}$ ．所以，椭圆的离心率 $e=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．
②由①知 $a^{2}=2 c^{2}, b^{2}=c^{2}$ ．故椭圆方程为 $\frac{x^{2}}{2 c^{2}}+\frac{y^{2}}{c^{2}}=1$ ．
设 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，由 $F_{1}(-c, 0), B(0, c)$ ，有 $\overrightarrow{F_{1} P}=\left(x_{0}+c, y_{0}\right), \overrightarrow{F_{1} B}=(c, c)$ ．
由已知，有 $\overrightarrow{F_{1}} \vec{P} \cdot \overrightarrow{F_{1}} \vec{B}=0$ ，即 $\left(x_{0}+c\right) c+y_{0} c=0$ ．又 $c \neq 0$ ，故有 $x_{0}+y_{0}+c=0$ ．

又因为点 $P$ 在椭圆上，故 $\frac{x_{0}^{2}}{2 c^{2}}+\frac{y_{0}^{2}}{c^{2}}=1$ ．

由①和②可得 $3 x_{0}^{2}+4 c x_{0}=0$ ，而点 $P$ 不是椭圆的顶点，故 $x_{0}=-\frac{4}{3} c$ ，代入（1）得 $y_{0}=\frac{c}{3}$ ，
即点 $P$ 的坐标为 $\left(-\frac{4 c}{3}, \frac{c}{3}\right)$ ．

设圆的圆心为 $T\left(x_{1}, y_{1}\right)$ ，则 $x_{1}=\frac{-\frac{4}{3} c+0}{2}=-\frac{2}{3} c, y_{1}=\frac{\frac{c}{3}+c}{2}=\frac{2}{3} c$ ，进而圆的半径 $r=\sqrt{\left(x_{1}-0\right)^{2}+\left(y_{1}-c\right)^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{3} c$.
设直线 $l$ 的斜率为 $k$ ，依题意，直线 $l$ 的方程为 $y=k x$ ．由 $l$ 与圆相切，可得 $\frac{\left|k x_{1}-y_{1}\right|}{\sqrt{k^{2}+1}}=r$ ，即 $\frac{\left|k\left(-\frac{2 c}{3}\right)-\frac{2 c}{3}\right|}{\sqrt{k^{2}+1}}=\frac{\sqrt{5}}{3} c$ ，整理得 $k^{2}-8 k+1=0$ ，解得 $k=4 \pm \sqrt{15}$ ．
所以，直线 $l$ 的斜率为 $4+\sqrt{15}$ 或 $4-\sqrt{15}$ ．