2014_江苏卷 (2014)
17．（本小题满分 14 分）
如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，$F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{3}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点 ，顶点 $B$ 的坐标为 $(0, b)$ ，连结 $B F_{2}$ 并延长交椭圆于点 $A$ ，过点 $A$ 作 $x$ 轴的垂线交椭圆于另一点 $C$ ，连结 $F_{1} C$ 。
（1）若点 C 的坐标为 $\left(\frac{4}{3}, \frac{1}{3}\right)$ ，且 $B F_{2}=\sqrt{2}$ ，求椭圆的方程；
（2）若 $F_{1} C \perp A B$ ，求椭圆离心率 $e$ 的值．
（第17题）
【解答】
（14分）（2014•江苏）如图，在平面直角坐标系 xOy 中， $\mathrm{F}_{1}, \mathrm{~F}_{2}$ 分别为椭圆 $\frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}=1$
$(\mathrm{a}>\mathrm{b}>0)$ 的左、右焦点，顶点 B 的坐标为（ $0, ~ \mathrm{~b}$ ），连接 $\mathrm{BF}_{2}$ 并延长交椭圆于点 A ，过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点 C ，连接 $\mathrm{F}_{1} \mathrm{C}$ 。
（1）若点 C 的坐标为 $\left(\frac{4}{3}, \frac{1}{3}\right)$ ，且 $\mathrm{BF}_{2}=\sqrt{2}$ ，求椭圆的方程；
（2）若 $\mathrm{F}_{1} \mathrm{C} \perp \mathrm{AB}$ ，求椭圆离心率 e 的值．
考点 椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．
：
专题 圆锥曲线的定义、性质与方程．
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分析（1）根据椭圆的定义，建立方程关系即可求出 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 的值。
：（2）求出 C 的坐标，利用 $\mathrm{F}_{1} \mathrm{C} \perp \mathrm{AB}$ 建立斜率之间的关系，解方程即可求出 e 的值。
解答 解：（1）$\because \mathrm{C}$ 的坐标为 $\left(\frac{4}{3}, \frac{1}{3}\right)$ ，
$$ \begin{aligned} & \frac{\frac{16}{9}}{a^{2}}+\frac{\frac{1}{9}}{b^{2}}=1, \quad \text { 即 } \frac{16}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}=9, \\ & \because B F_{2}^{2}=b^{2}+c^{2}=a^{2}, \end{aligned} $$
$\therefore \mathrm{a}^{2}=(\sqrt{2})^{2}=2$ ，即 $\mathrm{b}^{2}=1$ ，
则椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$ ．
②设 $\mathrm{F}_{1}(-\mathrm{c}, 0), \mathrm{F}_{2}(\mathrm{c}, 0)$ ，
$\because \mathrm{B}(0, \mathrm{~b})$,
∴ 直线 $B F_{2}: y=-\frac{b}{c} x+b$ ，代入椭圆方程 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 得 $\left(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\right) x^{2}-\frac{2}{c} x=$
0，
解得 $x=0$ ，或 $x=\frac{2 a^{2} c}{a^{2}+c^{2}}$ ，
$\because A\left(\frac{2 a^{2} c}{a^{2}+c^{2}}, \frac{b\left(c^{2}-a^{2}\right)}{a^{2}+c^{2}}\right)$ ，且A，C关于 $x$ 轴对称，
$\therefore C\left(\frac{2 a^{2} c}{a^{2}+c^{2}},-\frac{b\left(c^{2}-a^{2}\right)}{a^{2}+c^{2}}\right)$ ，
则 $k_{F_{1} c}=-\frac{\frac{b\left(c^{2}-a^{2}\right)}{a^{2}+c^{2}}}{\frac{2 a^{2} c}{a^{2}+c^{2}}+c}=\frac{a^{2} b-b c^{2}}{3 a^{2} c+c^{3}}$ ，
$\because \mathrm{F}_{1} \mathrm{C} \perp \mathrm{AB}$ ，
$\therefore \frac{b\left(a^{2}-c^{2}\right)}{3 a^{2} c+c^{3}} \times\left(-\frac{b}{c}\right)=-1$ ，
由 $\mathrm{b}^{2}=\mathrm{a}^{2}-\mathrm{c}^{2}$ 得 $\frac{\mathrm{c}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}=\frac{1}{5}$ ，
即 $\mathrm{e}=\frac{\sqrt{5}}{5}$ ．
点评 本题主要考查圆锥曲线的综合问题，要求熟练掌握椭圆方程的求法以及直线垂直和 ：斜率之间的关系，运算量较大。