17．（本小题满分 14 分）
如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，$F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{3}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点 ，顶点 $B$ 的坐标为 $(0, b)$ ，连结 $B F_{2}$ 并延长交椭圆于点 $A$ ，过点 $A$ 作 $x$ 轴的垂线交椭圆于另一点 $C$ ，连结 $F_{1} C$ 。
（1）若点 C 的坐标为 $\left(\frac{4}{3}, \frac{1}{3}\right)$ ，且 $B F_{2}=\sqrt{2}$ ，求椭圆的方程；
（2）若 $F_{1} C \perp A B$ ，求椭圆离心率 $e$ 的值．
（第17题）