坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯…——2023 高考数学第 9 题答案解析

【答案】C
【解析】
【分析】先根据线面角的定义求得 $\tan \angle E M O=\tan \angle E G O=\frac{\sqrt{14}}{5}$ ，从而依次求 $E O, E G, E B, E F$ ，再把所有棱长相加即可得解．

【详解】如图，过 $E$ 做 $E O \perp$ 平面 $A B C D$ ，垂足为 $O$ ，过 $E$ 分别做 $E G \perp B C, E M \perp A B$ ，垂足分别为

$G, M$ ，连接 $O G, O M$ ，

由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为 $\angle E M O$ 和 $\angle E G O$ ，
所以 $\tan \angle E M O=\tan \angle E G O=\frac{\sqrt{14}}{5}$ ．
因为 $E O \perp$ 平面 $A B C D, B C \subset$ 平面 $A B C D$ ，所以 $E O \perp B C$ ，
因为 $E G \perp B C, E O, E G \subset$ 平面 $E O G, E O \cap E G=E$ ，
所以 $B C \perp$ 平面 $E O G$ ，因为 $O G \subset$ 平面 $E O G$ ，所以 $B C \perp O G$ ，．
同理：$O M \perp B M$ ，又 $B M \perp B G$ ，故四边形 $O M B G$ 是矩形，

所以由 $B C=10$ 得 $O M=5$ ，所以 $E O=\sqrt{14}$ ，所以 $O G=5$ ，
所以在直角三角形 $E O G$ 中，$E G=\sqrt{E O^{2}+O G^{2}}=\sqrt{(\sqrt{14})^{2}+5^{2}}=\sqrt{39}$
在直角三角形 $E B G$ 中，$B G=O M=5, E B=\sqrt{E G^{2}+B G^{2}}=\sqrt{(\sqrt{39})^{2}+5^{2}}=8$ ，
又因为 $E F=A B-5-5=25-5-5=15$ ，
所有棱长之和为 $2 \times 25+2 \times 10+15+4 \times 8=117 \mathrm{~m}$ ．
故选：C