如图，在三棱锥 P-A B C 中， P A 平面 A B…——2023 高考数学第 16 题答案解析

【答案】（1）证明见解析
（2）$\frac{\pi}{3}$

## 【解析】

【分析】（1）先由线面垂直的性质证得 $P A \perp B C$ ，再利用勾股定理证得 $B C \perp P B$ ，从而利用线面垂直的判定定理即可得证；
（2）结合（1）中结论，建立空间直角坐标系，分别求得平面 $P A C$ 与平面 $P B C$ 的法向量，再利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解．

## 【小问 1 详解】

因为 $P A \perp$ 平面 $A B C, B C \subset$ 平面 $A B C$ ，
所以 $P A \perp B C$ ，同理 $P A \perp A B$ ，
所以 $\triangle P A B$ 为直角三角形，
又因为 $P B=\sqrt{P A^{2}+A B^{2}}=\sqrt{2}, B C=1, P C=\sqrt{3}$ ，

所以 $P B^{2}+B C^{2}=P C^{2}$ ，则 $\triangle \mathrm{PBC}$ 为直角三角形，故 $B C \perp P B$ ，
又因为 $B C \perp P A, P A \cap P B=P$ ，
所以 $B C \perp$ 平面 $P A B$ ．

## 【小问 2 详解】

由（1）$B C \perp$ 平面 $P A B$ ，又 $A B \subset$ 平面 $P A B$ ，则 $B C \perp A B$ ，
以 A 为原点，$A B$ 为 $x$ 轴，过 A 且与 $B C$ 平行的直线为 $y$ 轴，$A P$ 为 $z$ 轴，建立空间直角坐标系，如图，

则 $A(0,0,0), P(0,0,1), C(1,1,0), B(1,0,0)$ ，
所以 $\overrightarrow{A P}=(0,0,1), \overrightarrow{A C}=(1,1,0), \overrightarrow{B C}=(0,1,0), \overrightarrow{P C}=(1,1,-1)$ ，
设平面 $P A C$ 的法向量为 $\vec{m}=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ ，则 $\left\{\begin{array}{l}m \cdot \overrightarrow{A P}=0 \\ m \cdot \overrightarrow{A C}=0\end{array}\right.$ ，即 $\left\{\begin{array}{l}z_{1}=0, \\ x_{1}+y_{1}=0,\end{array}\right.$
令 $x_{1}=1$ ，则 $y_{1}=-1$ ，所以 $\vec{m}=(1,-1,0)$ ，
设平面 $P B C$ 的法向量为 $\vec{n}=\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)$ ，则 $\left\{\begin{array}{l}n \cdot \overrightarrow{B C}=0 \\ n \cdot \overrightarrow{P C}=0\end{array}\right.$ ，即 $\left\{\begin{array}{l}y_{2}=0 \\ x_{2}+y_{2}-z_{2}=0\end{array}\right.$ ，
令 $x_{2}=1$ ，则 $z_{2}=1$ ，所以 $\vec{n}=(1,0,1)$ ，
所以 $\cos \langle\vec{m}, \vec{n}\rangle=\frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{|\vec{m}||\vec{n}|}=\frac{1}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}=\frac{1}{2}$ ，
又因为二面角 $A-P C-B$ 为锐二面角，
所以二面角 $A-P C-B$ 的大小为 $\frac{\pi}{3}$ ．