（本小题满分 14 分） 已知函数 f(x) 对任意实数…——2010 高考数学第 18 题答案解析

解：由于 $f(x)=k f(x+2)=k^{2} f(x+4)$
当 $k^{2}<1$ 时，则有 $f(x)=k f(x+2)=k^{2} f(x+4)$
①$f(-1)=k f(1)=-k, f(2.5)=f(0.5+2)=\frac{f(0.5)}{k}=-\frac{3}{4 k}$
（2）当 $2 \leq x \leq 3$ 时， $0 \leq x-2 \leq 1$

$$ f(x)=\frac{f(x-2)}{k}=\frac{(x-2)(x-4)}{k}(2 \leq x \leq 3) $$

当 $-2 \leq x \leq 0$ 时， $0 \leq x+2 \leq 2$

$$ f(x)=k f(x+2)=k x(x+2)(-2 \leq x \leq 0) $$

当 $-3 \leq x \leq-2$ 时，$-1 \leq x+2 \leq 0$

$$ f(x)=k f(x+2)=k \cdot k(x+2)(x+4)=k^{2}(x+2)(x+4)(-3 \leq x \leq-2) $$

$\mathrm{f}(\mathrm{x})=\left\{\begin{array}{l}k^{2}(x+2)(x+4),(-3 \leq x \leq-2) \\ k x(x+2)(-2 \leq x \leq 0) \\ x(x-2)(0 \leq x \leq 2) \\ \frac{(x-2)(x-4)}{k}(2 \leq x \leq 3)\end{array}\right.$
由于 $k$ 为负数，易画出 $f(x)$ 在 $[-3,3]$ 的图形。
由图形可知：$[-3,-1]$ 为单调增区间；

## $[-1,1]$ 为单减减区间；

## ［1，3］为单调增区间

③由（2）可知，
$f(x)$ 的最小值出自于 $f(-3)=-k^{2}, f(1)=-1$
$f(x)$ 的最大值出自于 $f(-1)=-k, f(3)=-\frac{1}{k}$
A．当 $-1-1,-k<-\frac{1}{k}$
此时：$f(x)_{\max }=f(3)=-\frac{1}{k}, f(x)_{\min }=f(1)=-1$
B．当 $k=-1$ 时 $-k^{2}=-1,-k=-\frac{1}{k}$
此时：$f(x)_{\text {max }}=f(3)=f(-1)=1, f(x)_{\text {min }}=f(1)=f(-3)=-1$
C．当 $k<-1$ 时 $-k^{2}<-1,-k>-\frac{1}{k}$
此时：$f(x)_{\text {max }}=f(-1)=-k, f(x)_{\text {min }}=f(-3)=-k^{2}$