（13 分）已知函数 f(x)= (sin x-cos x…——2012 高考数学第 15 题答案解析

【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H4：正弦函数的定义域和值域； HM：复合三角函数的单调性．

【专题】57：三角函数的图像与性质．
【分析】（1）由 $\sin x \neq 0$ 可得 $x \neq k \pi(k \in Z)$ ，将 $f(x)$ 化为 $f(x)=\sqrt{2} \sin$

$\left(2 x-\frac{\pi}{4}\right)-1$ 即可求其最小正周期；
②由（1）得 $f(x)=\sqrt{2} \sin \left(2 x-\frac{\pi}{4}\right)-1$ ，再由 $2 k \pi+\frac{\pi}{2} \leqslant 2 x-\frac{\pi}{4} \leqslant 2 k \pi+\frac{3 \pi}{2}, x \neq k \pi(k \in Z)$ 即可求 $f(x)$ 的单调递减区间。

【解答】解：（1）由 $\sin x \neq 0$ 得 $x \neq k \pi(k \in Z)$ ，
故求 $f(x)$ 的定义域为 $\{x \mid x \neq k \pi, k \in Z\}$ 。
$\because f(x)=\frac{(\sin x-\cos x) \sin 2 x}{\sin x}$
$=2 \cos x(\sin x-\cos x)$
$=\sin 2 \mathrm{x}-\cos 2 \mathrm{x}-1$
$=\sqrt{2} \sin \left(2 x-\frac{\pi}{4}\right)-1$
$\therefore f(x)$ 的最小正周期 $T=\frac{2 \pi}{2}=\pi$ ．
（2）∵ 函数 $\mathrm{y}=\sin \mathrm{x}$ 的单调递减区间为 $\left[2 \mathrm{k} \pi+\frac{\pi}{2}, 2 \mathrm{k} \pi+\frac{3 \pi}{2}\right] \quad(\mathrm{k} \in \mathrm{Z})$
∴ 由 $2 k \pi+\frac{\pi}{2} \leqslant 2 x-\frac{\pi}{4} \leqslant 2 k \pi+\frac{3 \pi}{2}, x \neq k \pi \quad(k \in Z)$
得 $k \pi+\frac{3 \pi}{8} \leqslant x \leqslant k \pi+\frac{7 \pi}{8}, ~(k \in Z)$
$\therefore f(x)$ 的单调递减区间为：$\left[k \pi+\frac{3 \pi}{8}, k \pi+\frac{7 \pi}{8}\right] \quad(k \in Z)$
【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦函数的单调性，注重辅助角公式的考察应用，求得 $f\left(x=\sqrt{2} \sin \left(2 x-\frac{\pi}{4}\right)-1\right.$ 是关键，属于中档题．