（13 分）已知函数 f(x)= (sin x-cos x…——2012 高考数学第 15 题答案解析

【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用； H 1 ：三角函数的周期性； HM ：复合三角函数的单调性．

【专题】57：三角函数的图像与性质．

【分析】通过二倍角与两角差的正弦函数，化简函数的表达式，（1）直接求出函数的定义域和最小正周期．
（2）利用正弦函数的单调增区间，结合函数的定义域求出函数的单调增区间即可。

$$ \begin{aligned} & \quad \text { 【 解 答 解 } \\ & \quad f(x)=\frac{(\sin x-\cos x) \sin 2 x}{\sin x}=\frac{(\sin x-\cos x) 2 \sin x \cos x}{\sin x}=2(\sin x-\cos x) \cos x \\ & =\sin 2 x-1-\cos 2 x=\sqrt{2} \sin \left(2 x-\frac{\pi}{4}\right)-1 k \in Z, \quad\{x \mid x \neq k \pi, k \in Z\} \end{aligned} $$

（1）原函数的定义域为 $\{x \mid x \neq k \pi, k \in Z\}$ ，最小正周期为 $\pi$ ．
②由 $2 k \pi-\frac{\pi}{2} \leqslant 2 x-\frac{\pi}{4} \leqslant 2 k \pi+\frac{\pi}{2}, k \in Z$ ，
解得 $k \pi-\frac{\pi}{8} \leqslant x \leqslant k \pi+\frac{3 \pi}{8}, k \in Z$ ，又 $\{x \mid x \neq k \pi, k \in Z\}$ ，
原函数的单调递增区间为 $\left[k \pi-\frac{\pi}{8}, k \pi\right), k \in Z, ~\left(k \pi, k \pi+\frac{3 \pi}{8}\right], k \in Z$
【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，复合三角函数的单调性，注意函数的定义域在单调增区间的应用，考查计算能力。