12．（5 分）（2008•四川）在正方体 $\mathrm{ABCD}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{D}_{1}$ 中， E 是棱 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1}$ 的中点，则 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}$ 与 $\mathrm{D}_{1} \mathrm{E}$ 所成角的余弦值为（）
（5 分）（2008•四川）在正方体 ABCD - A _…——2008 高考数学第 12 题答案解析
2008_退役省自主命题 (2008·文)
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【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．
【专题】压轴题。
【分析】在正方体、长方体中往往可以建立空间直角坐标系，利用向量法解决问题．
【解答】解：如图，以 D 为坐标系原点， AB 为单位长， $\mathrm{DA}, ~ \mathrm{DC}, ~ \mathrm{DD}_{1}$ 分别为 $\mathrm{x}, \mathrm{y}, ~ \mathrm{z}$ 轴建立坐标系，
易见 $\overrightarrow{\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}}=(0,1,-1), ~ \overrightarrow{\mathrm{D}_{1} \mathrm{E}}=\left(1, \frac{1}{2}, 0\right)$ ，
所以 $\cos <\overrightarrow{\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}}, ~ \overrightarrow{\mathrm{D}_{1} \mathrm{E}}>$
$=\frac{(0,1,-1) \cdot\left(1, \frac{1}{2}, 0\right)}{|(0,1,-1)| \cdot\left|\left(1, \frac{1}{2}, 0\right)\right|}$
$=\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{5}{4}}}$
$=\frac{\sqrt{10}}{10}$ ，
故选 B．
【点评】本题考查空间两直线夹角的求法．
✅ 来源：2008年 · 全国 · 2008_退役省自主命题 (2008·文) · 第 12 题 · 本题已通过人工审核与系统自动校验
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2021 区分题 · 2021_上海卷 (2021)
（14分）四棱锥 $P-A B C D$ ，底面为正方形 $A B C D$ ，边长为4，$E$ 为 $A B$ 中点，$P E \perp$平面 $A B C D$ 。
（1）若 $\triangle P A B$ 为等边三角形，求四棱锥 $P-A B C D$ 的体积；
（2）若 $C D$ 的中点为 $F, ~ P F$ 与平面 $A B C D$ 所成角为 $45^{\circ}$ ，求 $P C$ 与 $A D$ 所成角的大小．
【思路分析】①由 $V=\frac{1}{3} P E \cdot S_{\text {正方形 } A B C D}$ ，代入相应数据，进行运算，即可；
②由 $P E \perp$ 平面 $A B C D$ ，知 $\angle P F E=45^{\circ}$ ，进而有 $P E=F E=4, ~ P B=2 \sqrt{5}$ ，由
$A D / / B C$ ，知 $\angle P C B$ 或其补角即为所求，可证 $B C \perp$ 平面 $P A B$ ，从而有 $B C \perp P B$ ，最后在 Rt $\triangle \mathrm{PBC}$ 中，由 $\tan \angle P C B=\frac{P B}{B C}$ ，得解．
2020 区分题 · 2020_上海卷 (2020)
已知四棱锥 $P-A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为正方形，边长为 $3, P D \perp$ 平面 $A B C D$ ．
（1）若 $P C=5$ ，求四棱锥 $P-A B C D$ 的体积；
（2）若直线 $A D$ 与 $B P$ 的夹角为 $60^{\circ}$ ，求 $P D$ 的长．
2019 区分题 · 2019_上海卷 (2019)
如图，正三棱锥 $P-A B C$ 中，侧棱长为 2 ，底面边长为 $\sqrt{3}, M , N$ 分别是 $P B$ 和 $B C$的中点。
（1）求异面直线 $M N$ 与 $A C$ 所成角的大小；
（2）求三棱锥 $P-A B C$ 的体积．