某沙漠地区经过治理,生态系统得到很大改善,野生动物数量有所…——2020 高考数学第 18 题答案解析

2020_新课标 II 卷 (2020·理)

2020 全国 第 18 题 解答题 区分题
2020_新课标 II 卷 (2020·理)

18.某沙漠地区经过治理,生态系统得到很大改善,野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的 200 个地块,从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取 20 个作为样区,调查得到样本数据 $\left(x_{i}, y_{i}\right)(i=1,2, \ldots, 20)$ ,其中 $x_{i}$ 和 $y_{i}$ 分别表示第 $i$ 个样区的植物覆盖面积(单位:公顷)和这种野生动物的数量,并计算得 $\sum_{i=1}^{20} x_{i}=60$ ,

$$ \sum_{i=1}^{20} y_{i}=1200, \quad \sum_{i=1}^{20}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}=80, \quad \sum_{i=1}^{20}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}=9000, \quad \sum_{i=1}^{20}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)=800 . $$

(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数);
(2)求样本 $\left(x_{i}, y_{i}\right)(i=1,2, \ldots, 20)$ 的相关系数(精确到 0.01 );
(3)根据现有统计资料,各地块间植物覆盖面积差异很大。为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计,请给出一种你认为更合理的抽样方法,并说明理由.

附:相关系数 $r=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2} \sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}}}, \sqrt{2}=1.414$ .

参考答案

(1) 12000; (2) 0.94; (3) 详见解析

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【答案】(1)12000;(2) 0.94 ;(3)详见解析

【解析】

【分析】

(1)利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数,代入数据即可;
(2)利用公式 $r=\frac{\sum_{i=1}^{20}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{20}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2} \sum_{i=1}^{20}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}}}$ 计算即可;
(3)各地块间植物覆盖面积差异较大,为提高样本数据的代表性,应采用分层抽样.
【详解】(1)样区野生动物平均数为 $\frac{1}{20} \sum_{i=1}^{20} y_{i}=\frac{1}{20} \times 1200=60$ ,
地块数为 200 ,该地区这种野生动物的估计值为 $200 \times 60=12000$
(2)样本 $\left(x_{i}, y_{i}\right)$ 的相关系数为
$r=\frac{\sum_{i=1}^{20}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{20}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2} \sum_{i=1}^{20}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}}}=\frac{800}{\sqrt{80 \times 9000}}=\frac{2 \sqrt{2}}{3} \approx 0.94$
③
由于各地块间植物覆盖面积差异较大,为提高样本数据的代表性,应采用分层抽样
先将植物覆盖面积按优中差分成三层,
在各层内按比例抽取样本,
在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可。
【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取,考查学生数学运算能力,是一道容易题.

✅ 来源:2020年 · 全国 · 2020_新课标 II 卷 (2020·理) · 第 18 题 · 本题已通过全部自动发布校验

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