成对数据的统计相关性　·　历年高考数学真题与解析

3．下列图中，相关性系数最大的是

7．调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数 $r=0.8245$ ，下列说法正确的是（

18．某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的 200 个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取 20 个作为样区，调查得到样本数据 $\left(x_{i}, y_{i}\right)(i=1,2, \ldots, 20)$ ，其中 $x_{i}$ 和 $y_{i}$ 分别表示第 $i$ 个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得 $\sum_{i=1}^{20} x_{i}=60$ ，

$ \sum_{i=1}^{20} y_{i}=1200, \quad \sum_{i=1}^{20}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}=80, \quad \sum_{i=1}^{20}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}=9000, \quad \sum_{i=1}^{20}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)=800 . $

（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；
（2）求样本 $\left(x_{i}, y_{i}\right)(i=1,2, \ldots, 20)$ 的相关系数（精确到 0.01 ）；
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大。为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．

附：相关系数 $r=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2} \sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}}}, \sqrt{2}=1.414$ ．

18．某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的 200 个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取 20 个作为样区，调查得到样本数据 $\left(x_{i}, y_{i}\right)(i=1,2, \ldots, 20)$ ，其中 $x_{i}$ 和 $y_{i}$ 分别表示第 $i$ 个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得 $\sum_{i=1}^{20} x_{i}=60$ ，

$ \sum_{i=1}^{20} y_{i}=1200, \quad \sum_{i=1}^{20}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}=80, \quad \sum_{i=1}^{20}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}=9000, \quad \sum_{i=1}^{20}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)=800 . $

（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；
（2）求样本 $\left(x_{i}, y_{i}\right)(i=1,2, \ldots, 20)$ 的相关系数（精确到 0.01 ）；
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大。为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．

附：相关系数 $r=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2} \sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}}}, \sqrt{2}=1.414$ ．

5．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 $y$ 和温度 $x$（单位：${ }^{\circ} \mathrm{C}$ ）的关系，在 20 个

不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 $\left(x_{i}, y_{i}\right)(i=1,2, \cdots, 20)$ 得到下面的散点图：

由此散点图，在 $10^{\circ} \mathrm{C}$ 至 $40^{\circ} \mathrm{C}$ 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 $y$ 和温度 $x$ 的回归方程类型的是

5．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 $y$ 和温度 $x$（单位：${ }^{\circ} \mathrm{C}$ ）的关系，在 20 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 $\left(x_{i}, y_{i}\right)(i=1,2, \cdots, 20)$ 得到下面的散点图：

由此散点图，在 $10^{\circ} \mathrm{C}$ 至 $40^{\circ} \mathrm{C}$ 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 $y$ 和温度 $x$ 的回归方程类型的是

19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔 30 min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位： cm ）．下面是检验员在一天内依次抽取的 16 个零件的尺寸：

经计算得 $\quad \bar{x}=\frac{1}{16} \sum_{i=1}^{16} x_{i}=9.97, s=\sqrt{\frac{1}{16} \sum_{i=1}^{16}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}\left(\sum_{i=1}^{16} x_{i}{ }^{2}-16 \bar{x}^{2}\right)} \approx 0.212$ ， $\sqrt{\sum_{i=1}^{16}(i-8.5)^{2}} \approx 18.439, \sum_{i=1}^{16}\left(x_{i}-\bar{x}\right) \quad(i-8.5)=-2.78$ ，其中 $x_{i}$ 为抽取的第 $i$个零件的尺寸， $\mathrm{i}=1,2, \ldots, 16$ ．
（1）求（ $x_{i}, i$ ）（ $i=1,2, \ldots, 16$ ）的相关系数 $r$ ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若 $|r|<0.25$ ，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）。
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（ $\overline{\mathrm{x}}-3 \mathrm{~s}, \overline{\mathrm{x}}+3 \mathrm{~s}$ ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ i ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？
（ii）在（ $\bar{x}-3 s, \bar{x}+3 s$ ）之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差。（精确到0．01）

附：样本 $\left(x_{i}, y_{i}\right)(i=1,2, \ldots, n)$ 的相关系数 $r=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}} \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}}}$ ，$\sqrt{0.008} \approx 0.09$ ．

18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨的折线图．

注：年份代码1－7分别对应年份2008－2014．
（I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以证明；
（II）建立 y 关于 t 的回归方程（系数精确到0．01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．

附注：
参考数据：$\sum_{i=1}^{T} y_{i}=9.32, \sum_{i=1}^{T} t_{i} y_{i}=40.17, \sqrt{\sum_{i=1}^{T}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}}=0.55, \sqrt{7} \approx 2.646$ ．
参考公式：相关系数 $r=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(t_{i}-\bar{t}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(t_{i}-\bar{t}\right)^{2} \sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}}}$ ，
回归方程 $\widehat{y}=\widehat{a}+\widehat{b} t$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
$\widehat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(t_{i}-\bar{t}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sum_{i=1}^{n}\left(t_{i}-\bar{t}\right)^{2}}, \widehat{a}=\bar{y}-\widehat{b} t$.

3．已知变量 $x$ 与 $y$ 正相关，且由观测数据算得样本平均数 $\bar{x}=3, \bar{y}=3.5$ ，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是（
$A . \hat{y}=0.4 x+2.3$
B．$\hat{y}=2 x-2.4$
$C . \hat{y}=-2 x+9.5$
$C . \hat{y}=-0.3 x+4.4$

4．四名同学根据各自的样本数据研究变量 $x, y$ 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：
①$y$ 与 $x$ 负相关且 $\hat{y}=2.347 x-6.423$ ；
②$y$ 与 $x$ 负相关且 $\hat{y}=-3.476 x+5.648$ ；
③$y$ 与 $x$ 正相关且 $\hat{y}=5.437 x+8.493$ ；
④$y$ 与 $x$ 正相关且 $\hat{y}=-4.326 x-4.578$ ．

其中一定不正确的结论的序号是

3．（5分）在一组样本数据 $\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right), \ldots,\left(x_{n}, y_{n}\right)\left(n \geq 2, x_{1}\right.$ ，$x_{2}, \ldots, x_{n}$ 不全相等）的散点图中，若所有样本点 $\left(x_{i}, y_{i}\right)(i=1,2, \ldots$ ， n ）都在直线 $\mathrm{y}=\frac{1}{2} \mathrm{x}+1$ 上，则这组样本数据的样本相关系数为（）