（16 分）对于给定的正整数 k，若数列 a_ n 满足：…——2017 高考数学第 19 题答案解析

【解答】
（16 分）（2017 • 江苏）对于给定的正整数 $k$ ，若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足： $a_{n-k}+a_{n-k+1}+\ldots+a_{n-1}+a_{n+1}+\ldots+a_{n+k-1}+a_{n+k}=2 k a_{n}$ 对任意正整数 $n ~(n>k) ~$ 总成立，则称数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是＂P（k）数列＂．
（1）证明：等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是＂$P$③数列＂；
（2）若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 既是＂$P(2)$ 数列＂，又是＂$P(3)$ 数列＂，证明：$\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列．
【分析】（1）由题意可知根据等差数列的性质，$a_{n-3}+a_{n-2}+a_{n-1}+a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3}= \left(a_{n-3}+a_{n+3}\right)+\left(a_{n-2}+a_{n+2}\right)+\left(a_{n-1}+a_{n+1}\right)=2 \times 3 a_{n}$ ，根据＂P（k）数列＂的定义，可得数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是＂$P$③数列＂；
②由＂$P$（k）数列＂的定义，则 $a_{n-2}+a_{n-1}+a_{n+1}+a_{n+2}=4 a_{n}$ ， $a_{n-3}+a_{n-2}+a_{n-1}+a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3}=6 a_{n}$ ，变形整理即可求得 $2 a_{n}=a_{n-1}+a_{n+1}$ ，即可证明数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列．

【解答】解：（1）证明：设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 首项为 $a_{1}$ ，公差为 $d$ ，则 $a_{n}=a_{1}+(n-1)$ d，

则 $a_{n-3}+a_{n-2}+a_{n-1}+a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3}$ ，
$=\left(a_{n-3}+a_{n+3}\right)+\left(a_{n-2}+a_{n+2}\right)+\left(a_{n-1}+a_{n+1}\right)$ ，

$=2 a_{n}+2 a_{n}+2 a_{n}$,
$=2 \times 3 a_{n}$ ，
∴ 等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是＂P（3）数列＂；
（2）证明：由数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是＂$P$②数列＂则 $a_{n-2}+a_{n-1}+a_{n+1}+a_{n+2}=4 a_{n}$ ，（1）
数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是＂P（3）数列＂$a_{n-3}+a_{n-2}+a_{n-1}+a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3}=6 a_{n}$ ，②
由（1）可知：$a_{n-3}+a_{n-2}+a_{n}+a_{n+1}=4 a_{n-1}$ ，③
$a_{n-1}+a_{n}+a_{n+2}+a_{n+3}=4 a_{n+1}$ ，④
由②－（③＋④）：$-2 a_{n}=6 a_{n}-4 a_{n-1}-4 a_{n+1}$ ，
整理得： $2 a_{n}=a_{n-1}+a_{n+1}$ ，
∴ 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列．
【点评】本题考查等差数列的性质，考查数列的新定义的性质，考查数列的运算，考查转化思想，属于中档题．