（12 分）（2008 • 山东）将数列 a _ n 中的…——2008 高考数学第 18 题答案解析

【解答】
（12 分）（2008 • 山东）将数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：$a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5} a_{6} a_{7} a_{8} a_{9} a_{10} \ldots$ 记表中的第一列数 $a_{1}, a_{2}, a_{4}, a_{7}, \ldots$ 构成的数列为 $\left\{b_{n}\right\}$ ， $b_{1}=a_{1}=1 . S_{n}$ 为数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，且满足 $\frac{2 b_{n}}{b_{n} S_{n}-S_{n}^{2}}=1 \quad(n \geqslant 2)$ ．
（I）证明数列 $\left\{\frac{1}{\mathrm{~S}_{\mathrm{n}}}\right\}$ 成等差数列，并求数列 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式；
（II）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数。当 $\mathrm{a}_{81}=-\frac{4}{91}$ 时，求上表中第 $\mathrm{k}(\mathrm{k} \geq 3)$ 行所有项的和。
$a_{1}$
$a_{2} \quad a_{3}$
$\begin{array}{lll}a_{4} & a_{5} & a_{6}\end{array}$
$\begin{array}{llll}a_{7} & a_{8} & a_{9} & a_{10}\end{array}$
【分析】（I）由题意所给的已知等式特点应考虑应用已知数列的前 n 项和求其通项这一公式来寻求出路，得到 Sn 与 $\mathrm{SS}_{\mathrm{n}-1}$ 之间的递推关系，先求出 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ 的通项公式即可得证，接下来求 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式；
（II）由题意第一列数 $a_{1}, a_{2}, a_{4}, a_{7}, \ldots$ 构成的数列为 $\left\{b_{n}\right\}, b_{1}=a_{1}=1$ ，又已知 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式和 $\mathrm{a}_{81}$ 的值，应该现有规律判断这一向位于图示中的具体位置，有从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数进而求解．
【解答】解：（I）证明：由已知，当 $\mathrm{n} \geq 2$ 时，$\frac{2 \mathrm{~b}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{b}_{\mathrm{n}} \mathrm{S}_{\mathrm{n}}-\mathrm{S}_{\mathrm{n}}^{2}}=1$ ，又 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\mathrm{b}_{1}+\mathrm{b}_{2}+\ldots+\mathrm{b}_{\mathrm{n}}$ ，
所以 $\frac{2\left(S_{n}-S_{n-1}\right)}{\left(S_{n}-S_{n-1}\right) S_{n}-S_{n}^{2}}=1 \Rightarrow \frac{2\left(S_{n}-S_{n-1}\right)}{-S_{n-1} S_{n}}=1 \Rightarrow \frac{1}{S_{n}}-\frac{1}{S_{n-1}}=\frac{1}{2}$ ，
又 $S_{1}=b_{1}=a_{1}=1$ ．所以数列 $\left\{\frac{1}{S_{n}}\right\}$ 是首项为 1 ，公差为 $\frac{1}{2}$ 的等差数列．
由上可知 $\frac{1}{\mathrm{~S}_{\mathrm{n}}}=1+\frac{1}{2}(\mathrm{n}-1)=\frac{\mathrm{n}+1}{2}, \Rightarrow \mathrm{~S}_{\mathrm{n}}=\frac{2}{\mathrm{n}+1}$ ．
所以当 $n \geq 2$ 时，$b_{n}=S_{n}-S_{n-1}=\frac{2}{n+1}-\frac{2}{n}=-\frac{2}{n(n+1)}$ ．
因此 $b_{n}=\left\{\begin{array}{l}1, n=1 \\ -\frac{2}{n(n+1)}, n \geqslant 2\end{array}\right.$

（II）设上表中从第三行起，每行的公比都为 q ，且 $\mathrm{q}>0$ ．
因为 $1+2+\cdots+12=\frac{12 \times 13}{2}=78$ ，
所以表中第1行至第12行共含有数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 78 项，故 $\mathrm{a}_{81}$ 在表中第 13 行第三列，因此 $\mathrm{a}_{81}=\mathrm{b}_{13} \cdot \mathrm{q}^{2}=-\frac{4}{91}$ ．又 $\mathrm{b}_{13}=-\frac{2}{13 \times 14}$ ，所以 $\mathrm{q}=2$ ．
记表中第 $k(k \geq 3)$ 行所有项的和为 $S$ ，则 $S=\frac{b_{k}\left(1-q^{k}\right)}{1-q}=-\frac{2}{k(k+1)} \cdot \frac{\left(1-2^{k}\right)}{1-2}=\frac{2}{k(k+1)}\left(1-2^{k}\right) \quad(k \geqslant 3)$ ．