（12分）如图，已知抛物线 E : y ^ 2 = x 与…——2009 高考数学第 21 题答案解析

【考点】IR：两点间的距离公式；JF：圆方程的综合应用；K8：抛物线的性质．

【专题】15：综合题；16：压轴题．
【分析】①先联立抛物线与圆的方程消去 y ，得到 x 的二次方程，根据抛物线 $E$ ：$y^{2}=x$ 与圆 $M$ ：$(x-4){ }^{2}+y^{2}=r^{2}(r>0)$ 相交于 $A , B , C , D$ 四个点的充要条件是此方程有两个不相等的正根，可求出 r 的范围．
②先设出四点 $A, B, C, D$ 的坐标再由①中的 $x$ 二次方程得到两根之和、两根之积，表示出面积并求出其的平方值，最后根据三次均值不等式确定得到最大值时的点 P 的坐标．

【解答】解：（I ）将抛物线 $E$ ：$y^{2}=x$ 代入圆 $M$ ：$(x-4)^{2}+y^{2}=r^{2}(r>0)$ 的方程，

消去 $y^{2}$ ，整理得 $x^{2}-7 x+16-r^{2}=0$（1）
抛物线 $E$ ：$y^{2}=x$ 与圆 $M$ ：$(x-4)^{2}+y^{2}=r^{2}(r>0)$ 相交于 $A , B , C , D$ 四个点的充要条件是：

方程①有两个不相等的正根
$\therefore\left\{\begin{array}{l}49-4\left(16-r^{2}\right)>0 \\ x_{1}+x_{2}=7>0 \\ x_{1} \cdot x_{2}=16-r^{2}>0\end{array}\right.$

即 $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{r}<\frac{\sqrt{15}}{2} \text { 或 } \mathrm{r}>\frac{\sqrt{15}}{2} \\ -4<\mathrm{r}<4\end{array}\right.$ ．
解这个方程组得 $\frac{\sqrt{15}}{2}（II）设四个交点的坐标分别为
$\mathrm{A}\left(\mathrm{x}_{1}, \sqrt{\mathrm{x}_{1}}\right), \mathrm{B}\left(\mathrm{x}_{1},-\sqrt{\mathrm{x}_{1}}\right), \mathrm{C}\left(\mathrm{x}_{2},-\sqrt{\mathrm{x}_{2}}\right), \mathrm{D}\left(\mathrm{x}_{2}, \sqrt{\mathrm{x}_{2}}\right)$.

则直线 $A C$ 、 $B D$ 的方程分别为 $y-\sqrt{x_{1}}=\frac{-\sqrt{x_{2}}-\sqrt{x_{1}}}{x_{2}-x_{1}} \cdot\left(x-x_{1}\right), y+\sqrt{x_{1}}=\frac{\sqrt{x_{2}}+\sqrt{x_{1}}}{x_{2}-x_{1}}$

$$ \left(x-x_{1}\right), $$

解得点 P 的坐标为 $\left(\sqrt{\mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{2}}, 0\right)$ ，
则由①根据韦达定理有 $x_{1}+x_{2}=7, x_{1} x_{2}=16-r^{2}, r \in\left(\frac{\sqrt{15}}{2}, 4\right)$
则 $\mathrm{S}=\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot\left|\mathrm{x}_{2}-\mathrm{x}_{1}\right|\left(\sqrt{\mathrm{x}_{1}}+\sqrt{\mathrm{x}_{2}}\right)=\left|\mathrm{x}_{2}-\mathrm{x}_{1}\right|\left(\sqrt{\mathrm{x}_{1}}+\sqrt{\mathrm{x}_{2}}\right)$
$\therefore S^{2}=\left[\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-4 x_{1} x_{2}\right]\left(x_{1}+x_{2}+2 \sqrt{x_{1} x_{2}}\right)=\left(7+2 \sqrt{16-r^{2}}\right)\left(4 r^{2}-15\right)$
令 $\sqrt{16-r^{2}}=t$ ，
则 $S^{2}=(7+2 t)^{2}(7-2 t)$ 下面求 $S^{2}$ 的最大值．
由三次均值有：$S^{2}=(7+2 t)^{2}(7-2 t)=\frac{1}{2}(7+2 t)(7+2 t)(14-4 t)$

$$ \leqslant \frac{1}{2}\left(\frac{7+2 t+7+2 t+14-4 t}{3}\right)^{3}=\frac{1}{2} \cdot\left(\frac{28}{3}\right)^{3} $$

当且仅当 $7+2 t=14-4 t$ ，即 $t=\frac{7}{6}$ 时取最大值．
经检验此时 $\mathrm{r} \in\left(\frac{\sqrt{15}}{2}, 4\right)$ 满足题意。
故所求的点 P 的坐标为 $\left(\frac{7}{6}, 0\right)$ ．
【点评】本题主要考查抛物线和圆的综合问题．圆锥曲线是高考