（12分）设抛物线 C： x^ 2 =2 p y(p>0)…——2012 高考数学第 20 题答案解析

【考点】 J1：圆的标准方程；K8：抛物线的性质；KI：圆锥曲线的综合．
【专题】15：综合题；16：压轴题．
【分析】①由对称性知：$\triangle B F D$ 是等腰直角 $\triangle$ ，斜边 $|B D|=2 p$ 点 $A$ 到准线I的距离 $\mathrm{d}=|\mathrm{FA}|=|\mathrm{FB}|=\sqrt{2} \mathrm{p}$ ，由 $\triangle \mathrm{ABD}$ 的面积 $S_{\triangle A B D}=4 \sqrt{2}$ ，知 $\frac{1}{2} \times \mathrm{BD} \times \mathrm{d}= \frac{1}{2} \times 2 \mathrm{p} \times \sqrt{2} \mathrm{p}=4 \sqrt{2}$ ，由此能求出圆 F 的方程．
（2）由对称性设 $A\left(x_{0}, \frac{x_{0}^{2}}{2 p}\right)\left(x_{0}>0\right)$ ，则 $F\left(0, \frac{p}{2}\right)$ 点 $A$ ，$B$ 关于点 $F$ 对称得： $B\left(-x_{0}, p-\frac{x_{0}^{2}}{2 p}\right) \Rightarrow p-\frac{x_{0}^{2}}{2 p}=-\frac{p}{2} \Leftrightarrow x_{0}^{2}=3 p$ ，得：$A\left(\sqrt{3} p, \frac{3 p}{2}\right)$ ，由此能求出坐标原点到 $\mathrm{m}, \mathrm{n}$ 距离的比值．

【解答】解：（1）由对称性知：$\triangle B F D$ 是等腰直角 $\triangle$ ，斜边 $|B D|=2 p$点 A 到准线 I 的距离 $\mathrm{d}=|\mathrm{FA}|=|\mathrm{FB}|=\sqrt{2} \mathrm{p}$ ，

$\because \triangle A B D$ 的面积 $S_{\triangle A B D}=4 \sqrt{2}$ ，
$\therefore \frac{1}{2} \times \mathrm{BD} \times \mathrm{d}=\frac{1}{2} \times 2 \mathrm{p} \times \sqrt{2} \mathrm{p}=4 \sqrt{2}$ ，
解得 $p=2$ ，所以 $F$ 坐标为 $(0,1)$ ，
∴ 圆 F 的方程为 $\mathrm{x}^{2}+(\mathrm{y}-1)^{2}=8$ ．
②由题设 $\mathrm{A}\left(\mathrm{x}_{0}, \frac{\mathrm{x}_{0}^{2}}{2 \mathrm{p}}\right)\left(\mathrm{x}_{0}>0\right)$ ，则 $\mathrm{F}\left(0, \frac{\mathrm{p}}{2}\right)$ ，
$\because A, B, F$ 三点在同一直线 $m$ 上，
又 $A B$ 为圆 $F$ 的直径，故 $A$ ，$B$ 关于点 $F$ 对称。
由点A，$B$ 关于点F对称得：$B\left(-x_{0}, p \frac{x_{0}^{2}}{2 p}\right) \Rightarrow p-\frac{x_{0}^{2}}{2 p}=-\frac{p}{2} \Leftrightarrow x_{0}^{2}=3 p^{2}$
得： $\mathrm{A}\left(\sqrt{3} \mathrm{p}, \frac{3 \mathrm{p}}{2}\right)$ ，直线 $\mathrm{m}: \mathrm{y}=\frac{\frac{3 \mathrm{p}}{2}-\frac{\mathrm{p}}{2}}{\sqrt{3} \mathrm{p}} \mathrm{x}+\frac{\mathrm{p}}{2} \Leftrightarrow \mathrm{x}-\sqrt{3} \mathrm{y}+\frac{\sqrt{3} \mathrm{p}}{2}=0$ ，

$$ x^{2}=2 p y \Leftrightarrow y=\frac{x^{2}}{2 p} \Rightarrow y^{\prime}=\frac{x}{p}=\frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow x=\frac{\sqrt{3}}{3} p \Rightarrow \text { 切点 } P\left(\frac{\sqrt{3} p}{3}, \frac{p}{6}\right) $$

直线 $n$ ：$y-\frac{p}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}\left(x-\frac{\sqrt{3} p}{3}\right) \Leftrightarrow x-\sqrt{3} y \frac{\sqrt{3}}{6} p=0$
坐标原点到 $\mathrm{m}, \mathrm{n}$ 距离的比值为 $\frac{\sqrt{3} \mathrm{p}}{2}: \frac{\sqrt{3} \mathrm{p}}{6}=3$ ．
【点评】本题考查抛物线与直线的位置关系的综合应用，具体涉及到抛物线的简单性质、圆的性质、导数的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化。