2011_老新课标卷 (2011·理)
14．（5分）在平面直角坐标系 xOy ，椭圆 C 的中心为原点，焦点 $\mathrm{F}_{1} \mathrm{~F}_{2}$ 在 x 轴上，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．过 $F_{1}$ 的直线交于 $A, B$ 两点，且 $\triangle A B F_{2}$ 的周长为 16 ，那么C的方程为 $-\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{8}=1$ ．
【考点】K4：椭圆的性质．
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】根据题意，$\triangle A B F_{2}$ 的周长为 16 ，即 $B F_{2}+A F_{2}+B F_{1}+A F_{1}=16$ ，结合椭圆的定义，有 $4 a=16$ ，即可得 $a$ 的值；又由椭圆的离心率，可得 $c$ 的值，进而可得 $b$ 的值；由椭圆的焦点在 $x$ 轴上，可得椭圆的方程。
【解答】解：根据题意，$\triangle A B F_{2}$ 的周长为 16 ，即 $B F_{2}+A F_{2}+B F_{1}+A F_{1}=16$ ；
根据椭圆的性质，有 $4 \mathrm{a}=16$ ，即 $\mathrm{a}=4$ ；
椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，即 $\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $\mathrm{a}=\sqrt{2} \mathrm{c}$ ，
将 $a=\sqrt{2} c$ ，代入可得，$c=2 \sqrt{2}$ ，则 $b^{2}=a^{2}-c^{2}=8$ ；
则椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{8}=1$ ；
故答案为：$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{8}=1$ ．
【点评】本题考查椭圆的性质，此类题型一般与焦点三角形联系，难度一般不大；注意结合椭圆的基本几何性质解题即可。