20．（本小题共13分）
对于每项均是正整数的数列 $A: a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ ，定义变换 $T_{1}, T_{1}$ 将数列 $A$ 变换成数列 $T_{1}(A): n, \quad a_{1}-1, \quad a_{2}-1, \cdots, \quad a_{n}-1$.
对于每项均是非负整数的数列 $B: b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{m}$ ，定义变换 $T_{2}, T_{2}$ 将数列 $B$ 各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列 $T_{2}(B)$ ；
又定义 $S(B)=2\left(b_{1}+2 b_{2}+\cdots+m b_{m}\right)+b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\cdots+b_{m}^{2}$ ．
设 $A_{0}$ 是每项均为正整数的有穷数列，令 $A_{k+1}=T_{2}\left(T_{1}\left(A_{k}\right)\right)(k=0,1,2, \cdots)$ ．
（I）如果数列 $A_{0}$ 为 $5,3,2$ ，写出数列 $A_{1}, A_{2}$ ；
（II）对于每项均是正整数的有穷数列 $A$ ，证明 $S\left(T_{1}(A)\right)=S(A)$ ；
（III）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列 $A_{0}$ ，存在正整数 $K$ ，当 $k \geqslant K$时，$S\left(A_{k+1}\right)=S\left(A_{k}\right)$ ．