2013 高考数学第 20 题答案解析

20．（13 分）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是由非负整数组成的无穷数列，该数列前 $n$ 项的最大值记为 $A_{n}$ ，第 $n$ 项之后各项 $a_{n+1}, a_{n+2} \ldots$ 的最小值记为 $B_{n}, d_{n}=A_{n}-B_{n}$ ．
（I）若 $\left\{a_{n}\right\}$ 为 $2,1,4,3,2,1,4,3 \ldots$ ，是一个周期为 4 的数列（即对任意 $\left.n \in N^{*}, a_{n+4}=a_{n}\right)$ ，写出 $d_{1}, d_{2}, d_{3}, d_{4}$ 的值；
（II）设 $d$ 是非负整数，证明：$d_{n}=-d(n=1,2,3 \ldots)$ 的充分必要条件为 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公差为 d 的等差数列；
（III）证明：若 $a_{1}=2, d_{n}=1(n=1,2,3, \ldots)$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的项只能是 1 或者 2 ，且有无穷多项为 1 ．