（13 分）已知 a_ n 是由非负整数组成的无穷数列，该…——2013 高考数学第 20 题答案解析

【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；83：等差数列的性质；87：等比数列的性质；R9：反证法与放缩法证明不等式．

【专题】54：等差数列与等比数列．
【分析】（I）根据条件以及 $d_{n}=A_{n}-B_{n}$ 的定义，直接求得 $d_{1}, d_{2}, d_{3}, d_{4}$ 的值．
（II）设 $d$ 是非负整数，若 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公差为 $d$ 的等差数列，则 $a_{n}=a_{1}+(n-1) d$ ，从而证得 $d_{n}=A_{n}-B_{n}=-d$ ，
$(n=1,2,3,4 \ldots)$ 。若 $d_{n}=A_{n}-B_{n}=-d,(n=1,2,3,4 \ldots)$ 。可得 $\left\{a_{n}\right\}$ 是一个不减的数列，

求得 $d_{n}=A_{n}-B_{n}=-d$ ，即 $a_{n+1}-a_{n}=d$ ，即 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公差为 $d$ 的等差数列，命题得证。
（III）若 $a_{1}=2, ~ d_{n}=1(n=1, ~ 2, ~ 3, ~ \ldots)$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的项不能等于零，再用反证法得到 $\left\{a_{n}\right\}$ 的项不能超过 2 ，

从而证得命题．
【解答】解：（I ）若 $\left\{a_{n}\right\}$ 为 $2,1,4,3,2,1,4,3 \ldots$ ，是一个周期为 4 的数列，$\therefore \mathrm{d}_{1}=\mathrm{A}_{1}-\mathrm{B}_{1}=2-1=1$ ，
$d_{2}=A_{2}-B_{2}=2-1=1, \quad d_{3}=A_{3}-B_{3}=4-1=3, \quad d_{4}=A_{4}-B_{4}=4-1=3$ ．
（II）充分性：设 $d$ 是非负整数，若 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公差为 $d$ 的等差数列，则 $a_{n}=a_{1}+ (\mathrm{n}-1) \mathrm{d}$ ，
$\therefore A_{n}=a_{n}=a_{1}+(n-1) d, B_{n}=a_{n+1}=a_{1}+n d, \quad \therefore d_{n}=A_{n}-B_{n}=-d, \quad(n=1,2,3,4 \ldots)$ ．

必要性：若 $d_{n}=A_{n}-B_{n}=-d,(n=1,2,3,4 \ldots)$ 。假设 $a_{k}$ 是第一个使 $a_{k}-a_{k-1}<0$的项，

则 $d_{k}=A_{k}-B_{k}=a_{k-1}-B_{k} \geqslant a_{k-1}-a_{k}>0$ ，这与 $d_{n}=-d \leqslant 0$ 相矛盾，故 $\left\{a_{n}\right\}$ 是一个不减的数列．
$\therefore d_{n}=A_{n}-B_{n}=a_{n}-a_{n+1}=-d$ ，即 $a_{n+1}-a_{n}=d$ ，故 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公差为 $d$ 的等差数列。
（III）证明：若 $a_{1}=2, d_{n}=1(n=1,2,3, \ldots)$ ，首先，$\left\{a_{n}\right\}$ 的项不能等于零，否则 $\mathrm{d}_{1}=2-0=2$ ，矛盾．

而且还能得到 $\left\{a_{n}\right\}$ 的项不能超过 2 ，用反证法证明如下：
假设 $\left\{a_{n}\right\}$ 的项中，有超过 2 的，设 $a_{m}$ 是第一个大于 2 的项，由于 $\left\{a_{n}\right\}$ 的项中一定有 1 ，否则与 $\mathrm{d}_{1}=1$ 矛盾．

当 $n \geqslant m$ 时，$a_{n} \geqslant 2$ ，否则与 $d_{m}=1$ 矛盾。
因此，存在最大的 $i$ 在 2 到 $m-1$ 之间，使 $a_{i}=1$ ，此时，$d_{i}=A_{i}-B_{i}=2-B_{i} \leqslant$ 2－2＝0，矛盾．

综上，$\left\{a_{n}\right\}$ 的项不能超过 2 ，故 $\left\{a_{n}\right\}$ 的项只能是 1 或者 2 ．
下面用反证法证明 $\left\{a_{n}\right\}$ 的项中，有无穷多项为 1.
若 $a_{k}$ 是最后一个 1 ，则 $a_{k}$ 是后边的各项的最小值都等于 2 ，故 $d_{k}=A_{k}-B_{k}=2-2=0$ ，矛盾，

故 $\left\{a_{n}\right\}$ 的项中，有无穷多项为1．
综上可得，$\left\{a_{n}\right\}$ 的项只能是 1 或者 2 ，且有无穷多项为 1 。
【点评】本题主要考查充分条件、必要条件的判断和证明，等差关系的确定，用反证法和放缩法证明数学命题，

属于中档题。