已知 a>0，函数 f(x)=e^ a x sin x(x…——2015 高考数学第 21 题答案解析

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析。

## 【解析】

试题分析：（1）求导，可知 $f^{\prime}(x)=e^{a x}(a \sin x+\cos x)=e^{a x}(a \sin x+\cos x)=\sqrt{a^{2}+1} e^{a x} \sin (x+\rho)$ ，利用三角函数的知识可求得 $f(x)$ 的极值点为 $x_{n}=n \pi-\rho\left(n \in N^{*}\right)$ ，即可得证；②分析题意可知，问题等价于 $\frac{\sqrt{a^{2}+1}}{a}<\frac{e^{a(n \pi-\rho)}}{a(n \pi-\rho)}$ 恒成立，构造函数 $g(t)=\frac{e^{t}}{t}$ ，利用导数判断其单调性即可得证。

试题解析：（1）$f^{\prime}(x)=a e^{a x} \sin x+e^{a x} \cos x=e^{a x}(a \sin x+\cos x)=\sqrt{a^{2}+1} e^{a x} \sin (x+\rho)$其中 $\tan \rho=\frac{1}{a}, 0<\rho<\frac{\pi}{2}$ ，令 $f^{\prime}(x)=0$ ，由 $x \geq 0$ 得 $x+\rho=m \pi$ ，即 $x=m \pi-\rho, m \in N^{*}$ ，对 $k \in N$ ，若 $2 k \pi0$ ，若 $(2 k+1) \pi

此时，$f\left(x_{n}\right)=e^{a(n \pi-\rho)} \sin (n \pi-\rho)=(-1)^{n+1} e^{a(n \pi-\rho)} \sin \rho$ ，易知 $f\left(x_{n}\right) \neq 0$ ，而
$\frac{f\left(x_{n+1}\right)}{f\left(x_{n}\right)}=\frac{(-1)^{n+2} e^{a[(n+1) \pi-\rho]} \sin \rho}{(-1)^{n+1} e^{a(n \pi-\rho)} \sin \rho}=-e^{a x}$ 是非零常数，故数列 $\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}$ 是首项为 $f\left(x_{1}\right)=e^{a(n \pi-\rho)} \sin \rho$ ，公比为 $-e^{a x}$ 的等比数列；②由（1）知， $\sin \rho=\frac{1}{\sqrt{a^{2}+1}}$ ，于是对一切 $n \in N^{*}, x_{n}<\left|f\left(x_{n}\right)\right|$ 恒成立，即 $n \pi-\rho<\frac{1}{\sqrt{a^{2}+1}} e^{a(n \pi-\rho)}$ 恒成立，等价于 $\frac{\sqrt{a^{2}+1}}{a}<\frac{e^{a(n \pi-\rho)}}{a(n \pi-\rho)}(\bullet)$ 恒成立 $(\because a>0)$ ，设 $g(t)=\frac{e^{t}}{t}(t>0)$ ，则 $g^{\prime}(t)=\frac{e^{t}(t-1)}{t^{2}}$ ，令 $g^{\prime}(t)=0$ ，得 $t=1$ ，

当 $0当 $t>1$ 时，$g^{\prime}(t)>0, \therefore g(t)$ 在区间 $(0,1)$ 上单调违增，
从而当 $t=1$ 时，函数 $g(t)$ 取得最小值 $g(1)=e$ ，因此，要是 $(\bullet)$ 式恒成立，只需 $\frac{\sqrt{a^{2}+1}}{a}\frac{1}{\sqrt{e^{2}-1}}$ ，而当 $a=\frac{1}{\sqrt{e^{2}-1}}$ 时， $\tan \rho=\frac{1}{a}=\sqrt{e^{2}-1}>\sqrt{3}$ ，且 $0<\rho<\frac{\pi}{2}$ ，于是 $\pi-\rho<\frac{2 \pi}{3}<\sqrt{e^{2}-1}$ ，且当 $n \geq 2$ 时，$n \pi-\rho \geq 2 \pi-\rho \geq \frac{3 \pi}{2}>\sqrt{e^{2}-1}$ ，因此对一切 $n \in N^{*}$ ， $a x_{n}=\frac{n \pi-\rho}{\sqrt{e^{2}-1}} \neq 1, \therefore g\left(a x_{n}\right)>g(1)=e=\frac{\sqrt{a^{2}+1}}{a}$ ，故（•）式亦恒成立．

综上所述，若 $a \geq \frac{1}{\sqrt{e^{2}-1}}$ ，则对一切 $n \in N^{*}, x_{n}【考点定位】1．三角函数的性质；2．导数的运用；3．恒成立问题．
【名师点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题。