导数的综合应用　·　历年高考数学真题与解析

18. （17分） $f ( x ) = \ln ( 1 + x ) - x + \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } - k x ^ { 3 } , 0 < k < \frac { 1 } { 3 }$

(1）证明：f(x)在(0,+∞)存在唯一极值点和唯一零点；

② 设 $x _ { 1 } , x _ { 2 }$ 为 f(x)在(0,+∞)的极值点和零点；

(i) $g ( t ) = f ( x _ { 1 } + t ) - f ( x _ { 1 } - t )$ 。证明：g(t)在 $\left( 0 , x _ { 1 } \right)$ 单调递减.

（ii）比较 $2 x _ { 1 } x _ { 2 }$ 的大小，并证明.

22．设 $a, b$ 为实数，且 $a>1$ ，函数 $f(x)=a^{x}-b x+e^{2}(x \in \mathrm{R})$
（1）求函数 $f(x)$ 的单调区间；
（2）若对任意 $b>2 e^{2}$ ，函数 $f(x)$ 有两个不同的零点，求 $a$ 的取值范围；
（3）当 $a=e$ 时，证明：对任意 $b>e^{4}$ ，函数 $f(x)$ 有两个不同的零点 $x_{1}, x_{2}$ ，满足 $x_{2}>\frac{b \ln b}{2 e^{2}} x_{1}+\frac{e^{2}}{b}$ ．
（注：$e=2.71828 \cdots$ 是自然对数的底数）

21．（12分）设函数 $f(x)=e^{2 x}-a \ln x$ 。
（I）讨论 $f(x)$ 的导函数 $f^{\prime}(x)$ 零点的个数；
（II）证明：当 $a>0$ 时，$f(x) \geq 2 a+a \ln \frac{2}{a}$ ．

21．（本小题满分 14 分）
设函数 $f(x), g(x)$ 的定义域均为 $\mathbf{R}$，且 $f(x)$ 是奇函数，$g(x)$ 是偶函数， $f(x)+g(x)=\mathrm{e}^{x}$，其中 e 为自然对数的底数。
（I）求 $f(x), g(x)$ 的解析式，并证明：当 $x>0$ 时，$f(x)>0, g(x)>1$；
（II）设 $a \leq 0, b \geq 1$，证明：当 $x>0$ 时，$a g(x)+(1-a)<\frac{f(x)}{x}<b g(x)+(1-b)$．

11．（5分）已知函数 $f(x)=a x^{3}-3 x^{2}+1$ ，若 $f(x)$ 存在唯一的零点 $x_{0}$ ，且 $x_{0}>0$ ，则实数 a 的取值范围是（）

12．（5分）已知函数 $f(x)=a x^{3}-3 x^{2}+1$ ，若 $f(x)$ 存在唯一的零点 $x_{0}$ ，且 $x_{0}>0$ ，则实数 a 的取值范围是（）

（1）复数的 $Z=\frac{1}{i-1}$ 模为

（1）已知集合 $A=\{0,1,2,3,4\}, B=\{x| | x \mid<2\}$，则 $A \cap B=$

21．（本小题满分 14 分）若函数 $h(x)$ 满足
（1）$h(0)=1, h(1)=0$ ；
（2）对任意 $a \in[0,1]$ ，有 $\mathrm{h}(\mathrm{h}(\mathrm{a}))=\mathrm{a}$ ；
（3）在 $(0,1)$ 上单调递减。

则称 $\mathrm{h}(\mathrm{x})$ 为补函数。已知函数 $h(x)=\left(\frac{1-x^{p}}{1+\lambda x^{p}}\right)^{\frac{1}{p}}(\lambda>-1, p>0)$ 。
（1）判断函数 $h(x)$ 是否为补函数，并证明你的结论；
（2）若存在 $m \in[0,1]$ ，使得 $h(m)=m$ ，若 $m$ 是函数 $h(x)$ 的中介元，记 $p=\frac{1}{n}(n \in N)$ 时 $h(x)$的中介元为 $\mathrm{x}_{\mathrm{n}}$ ，且 $S_{\mathrm{n}}=\sum_{\mathrm{n}-1}^{\mathrm{n}} \mathrm{x}_{1}$ ，若对任意的 $n \in N_{+}$，都有 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}<\frac{1}{2}$ ，求 $\lambda$ 的取值范围；
（3）当 $\lambda=0, x \in(0,1)$ 时，函数 $\mathrm{y}=\mathrm{h}(\mathrm{x})$ 的图像总在直线 $\mathrm{y}=1-\mathrm{x}$ 的上方，求 P 的取值范围。