导数的综合应用　·　历年高考数学真题与解析

20．已知函数 $f(x)=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{2}\right) \ln (x+1)$ ． （1）求曲线 $y=f(x)$ 在 $x=2$ 处切线的斜率； （2）当 $x>0$ 时，证明：$f(x)>1$ ； （3）证明：$\frac{5}{6}<\ln (n!)-\left(n+\frac{1}{2}\right) \ln (n)+n \leq 1$ ．

21．已知函数 $f(x)=\frac{e^{x}}{x}-\ln x+x-a$ ． （1）若 $f(x) \geq 0$ ，求 $a$ 的取值范围； （2）证明：若 $f(x)$ 有两个零点 $x_{1}, x_{2}$ ，则 $x_{1} x_{2}<1$ ．

22．（15分）已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\sqrt{\mathrm{x}}-\ln \mathrm{x}$ ． （I）若 $f(x)$ 在 $x=x_{1}, x_{2}\left(x_{1} \neq x_{2}\right)$ 处导数相等，证明：$f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)>$ 8－8ln2； （II）若 $\mathrm{a} \leqslant 3-4 \ln 2$ ，证明：对于任意 $\mathrm{k}>0$ ，直线 $\mathrm{y}=\mathrm{kx}+\mathrm{a}$ 与曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 有唯一公共点．