导数的综合应用　·　历年高考数学真题与解析

20．设函数 $f(x)=x \ln x$ ．
（1）求 $f(x)$ 图象上点 $(1, f(1))$ 处的切线方程；
（2）若 $f(x) \geq a(x-\sqrt{x})$ 在 $x \in(0,+\infty)$ 时恒成立，求 $a$ 的取值范围；
（3）若 $x_{1}, x_{2} \in(0,1)$ ，证明 $\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right| \leq\left|x_{1}-x_{2}\right|^{\frac{1}{2}}$ ．

20．已知函数 $f(x)=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{2}\right) \ln (x+1)$ ．
（1）求曲线 $y=f(x)$ 在 $x=2$ 处切线的斜率；
（2）当 $x>0$ 时，证明：$f(x)>1$ ；
（3）证明：$\frac{5}{6}<\ln (n!)-\left(n+\frac{1}{2}\right) \ln (n)+n \leq 1$ ．

20．设函数 $f(x)=x-x^{3} \mathrm{e}^{a x+b}$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程为 $y=-x+1$ ．
（1）求 $a, b$ 的值；
②设函数 $g(x)=f^{\prime}(x)$ ，求 $g(x)$ 的单调区间；
（3）求 $f(x)$ 的极值点个数．

22．在直角坐标系 $x O y$ 中，点 $P$ 到 $x$ 轴的距离等于点 $P$ 到点 $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 的距离，记动点 $P$ 的轨迹为 $W$ ．
（1）求 $W$ 的方程；
（2）已知矩形 $A B C D$ 有三个顶点在 $W$ 上，证明：矩形 $A B C D$ 的周长大于 $3 \sqrt{3}$ ．

20．已知函数 $f(x)=x^{3}-x, g(x)=x^{2}+a$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(x_{1}, f\left(x_{1}\right)\right)$ 处的切线也是曲线 $y=g(x)$ 的切线．
（1）若 $x_{1}=-1$ ，求 $a$ ；
（2）求 $a$ 的取值范围．

21．已知函数 $f(x)=\frac{e^{x}}{x}-\ln x+x-a$ ．
（1）若 $f(x) \geq 0$ ，求 $a$ 的取值范围；
（2）证明：若 $f(x)$ 有两个零点 $x_{1}, x_{2}$ ，则 $x_{1} x_{2}<1$ ．

22．已知函数 $f(x)=x \mathrm{e}^{a x}-\mathrm{e}^{x}$ ．
①当 $a=1$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性；
②当 $x>0$ 时，$f(x)<-1$ ，求 $a$ 的取值范围；
③设 $n \in \mathbf{N}^{*}$ ，证明：$\frac{1}{\sqrt{1^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{2^{2}+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}}>\ln (n+1)$ ．

22．已知函数 $f(x)=(x-1) e^{x}-a x^{2}+b$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明：$f(x)$ 有一个零点
①$\frac{1}{2}2 a$ ；
② $0

21．已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x}+a x^{2}-x$ ．
①当 $a=1$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性；
②当 $x \geq 0$ 时，$f(x) \geq \frac{1}{2} x^{3}+1$ ，求 $a$ 的取值范围．

22．已知函数 $f(x)=a \mathrm{e}^{x-1}-\ln x+\ln a$ ．
（1）当 $a=e$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点（1，$f(1))$ 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若 $f(x) \geq 1$ ，求 $a$ 的取值范围．

22．已知函数 $f(x)=a \mathrm{e}^{x-1}-\ln x+\ln a$ ．
（1）当 $a=e$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点（1，$f(1))$ 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若 $f(x) \geq 1$ ，求 $a$ 的取值范围．

## 答案解析：

19．（13 分）已知函数 $f(x)=\frac{1}{4} x^{3}-x^{2}+x$ ．
（I）求曲线 $y=f(x)$ 的斜率为 1 的切线方程；
（II）当 $x \in[-2,4]$ 时，求证：$x-6 \leqslant f(x) \leqslant x$ ；
（III）设 $F(x)=|f(x)-(x+a)|(a \in \mathbf{R})$ ，记 $F(x)$ 在区间 $[-2,4]$ 上的最大值为 $M$ （a）．当 $M(a)$ 最小时，求 $a$ 的值．

19．（本小题满分 16 分）
设函数 $f(x)=(x-a)(x-b)(x-c), a, b, c \in \mathrm{R} , f^{\prime}(x)$ 为 $f(x)$ 的导函数．
（1）若 $a=b=c, f(4)=8$ ，求 $a$ 的值；
（2）若 $a \neq b, b=c$ ，且 $f(x)$ 和 $f^{\prime}(x)$ 的零点均在集合 $\{-3,1,3\}$ 中，求 $f(x)$ 的极小值；
（3）若 $a=0,0

20．设函数 $f(x)=\ln x-a(x-1) e^{x}$ ，其中 $a \in R$ ．
（I）若 $a \leq 0$ ，讨论 $f(x)$ 的单调性；
（II）若 $0（i）证明 $f(x)$ 恰有两个零点
（ii）设 $x$ 为 $f(x)$ 的极值点，$x_{1}$ 为 $f(x)$ 的零点，且 $x_{1}>x_{0}$ ，证明 $3 x_{0}-x_{1}>2$ ．

20．（14 分）已知函数 $f(x)=\frac{1}{4} x^{3}-x^{2}+x$ ．
（I）求曲线 $y=f(x)$ 的斜率为 1 的切线方程；
（II）当 $x \in[-2,4]$ 时，求证：$x-6 \leqslant f(x) \leqslant x$ ；
（III）设 $F(x)=|f(x)-(x+a)|(a \in \mathbf{R})$ ，记 $F(x)$ 在区间 $[-2,4]$ 上的最大值为 $M$ （a）．当 $M(a)$ 最小时，求 $a$ 的值．

20．已知函数 $f(x)=2 \sin x-x \cos x-x, f^{\prime}(x)$ 为 $f(x)$ 的导数．
（1）证明：$f^{\prime}(x)$ 在区间 $(0, \pi)$ 存在唯一零点；
（2）若 $x \in[0, \pi]$ 时，$f(x) \geq a x$ ，求 $a$ 的取值范围．

22．（15分）已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\sqrt{\mathrm{x}}-\ln \mathrm{x}$ ．
（I）若 $f(x)$ 在 $x=x_{1}, x_{2}\left(x_{1} \neq x_{2}\right)$ 处导数相等，证明：$f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)>$ 8－8ln2；
（II）若 $\mathrm{a} \leqslant 3-4 \ln 2$ ，证明：对于任意 $\mathrm{k}>0$ ，直线 $\mathrm{y}=\mathrm{kx}+\mathrm{a}$ 与曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 有唯一公共点．

20．（13分）已知函数 $f(x)=x^{2}+2 \cos x, g(x)=e^{x}(\cos x-\sin x+2 x-2)$ ，其中 $\mathrm{e} \approx 2.17828 \ldots$ 是自然对数的底数．

（I）求曲线 $y=f(x)$ 在点（ $\pi, f(\pi)$ ）处的切线方程；
（II）令 $\mathrm{h}(\mathrm{x})=\mathrm{g}$
（x）－a
$f(x)(a \in R)$ ，讨论 $h(x)$ 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．

20．（16 分）已知函数 $f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+1(a>0, b \in R)$ 有极值，且导函数 $f^{\prime}$ （ $x$ ）的极值点是 $f(x)$ 的零点。（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）
（1）求 b 关于 a 的函数关系式，并写出定义域；
（2）证明：$b^{2}>3 a$ ；
（3）若 $f(x), f^{\prime}(x)$ 这两个函数的所有极值之和不小于 $-\frac{7}{2}$ ，求 a 的取值范围．

二．非选择题，附加题（21－24 选做题）【选修 4－1：几何证明选讲】（本小题满分 0分）

21．（12分）已知函数 $f(x)=a e^{2 x}+(a-2) e^{x}-x$ 。
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）若 $f(x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围．

21．（12分）设函数 $f(x)=\left(1-x^{2}\right) e^{x}$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）当 $x \geq 0$ 时，$f(x) \leq a x+1$ ，求 $a$ 的取值范围．

21．（本小题满分 14 分）
设函数 $f(x)=a x^{2}-a-\ln x$ ，其中 $a \in \mathbf{R}$ ．
（I）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（II）确定 $a$ 的所有可能取值，使得 $f(x)>\frac{1}{x}-e^{1-x}$ 在区间 $(1,+\infty)$ 内恒成立 $(\mathrm{e}=2.718 \cdots$ 为自然对数的底数）．

21、（本小题满分 14 分）
设函数 $f(x)=a x^{2}-a-\ln x, g(x)=\frac{1}{x}-\frac{e}{e^{x}}$ ，其中 $q \in R, \mathrm{e}=2.718 \cdots$ 为自然对数的底数．
（I）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（II）证明：当 $\mathrm{x}>1$ 时， $\mathrm{g}(\mathrm{x})>0$ ；
（III）确定 $a$ 的所有可能取值，使得 $f(x)>g(x)$ 在区间 $(1,+\infty)$ 内恒成立．

18．（13 分）已知函数 $f(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}$ ，
（I）求曲线 $y=f(x)$ 在点（ $0, f(0)$ ）处的切线方程；
（II）求证，当 $x \in(0,1)$ 时，$f(x)>2\left(x+\frac{x^{3}}{3}\right)$ ；
（III）设实数 $k$ 使得 $f(x)>k\left(x+\frac{x^{3}}{3}\right)$ 对 $x \in(0,1)$ 恒成立，求 $k$ 的最大值．

19．（16分）（2015•江苏）已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{3}+\mathrm{ax}^{2}+\mathrm{b} ~(\mathrm{a}, ~ \mathrm{~b} \in \mathrm{R}) ~$.
（1）试讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）若 $\mathrm{b}=\mathrm{c}-\mathrm{a}$（实数 c 是与 a 无关的常数），当函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 有三个不同的零点时， a 的取值范围恰好是 $(-\infty,-3) \cup\left(1, \frac{3}{2}\right) \cup\left(\frac{3}{2},+\infty\right)$ ，求 c 的值。

20．已知函数 $f(x)=4 x-x^{4}, x \hat{\mathrm{I}} R$ ，其中 $\mathrm{n} \hat{\mathrm{I}} N^{*}$ ，且 $\mathrm{n}^{3} 2$ ．
（I）求 $f(x)$ 的单调区间；
（II）设曲线 $y=f(x)$ 与 $x$ 轴正半轴的交点为 P ，曲线在点 P 处的切线方程为 $y=g(x)$ ，求证：对于任意的实数 $x$ ，都有 $f(x) £ g(x)$ ；

（III）若方程 $f(x)=a$（ $a$ 为实数）有两个正实数根 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1}

## 2015年高考天津市文科数学真题

21．（14分）（ $2015 \cdot$ 广东）设 a 为实数，函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=(\mathrm{x}-\mathrm{a})^{2}+|\mathrm{x}-\mathrm{a}|-\mathrm{a}(\mathrm{a}-1)$ 。
（1）若 $f(0) \leq 1$ ，求 $a$ 的取值范围；
（2）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（3）当 $a \geq 2$ 时，讨论 $f(x)+\frac{4}{x}$ 在区间 $(0,+\infty)$ 内的零点个数．

## 2015年广东省高考数学试卷（文科）

21．已知 $a>0$ ，函数 $f(x)=e^{a x} \sin x(x \in[0,+\infty))$ ，记 $x_{n}$ 为 $f(x)$ 的从小到大的第 $n\left(n \in N^{*}\right)$ 个极值点，证

明：
（1）数列 $\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}$ 是等比数列
（2）若 $a \geq \frac{1}{\sqrt{e^{2}-1}}$ ，则对一切 $n \in N^{*}, x_{n}<\left|f\left(x_{n}\right)\right|$ 恒成立．

21．（12分）已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{3}+\mathrm{ax}+\frac{1}{4}, \mathrm{~g}(\mathrm{x})=-\ln \mathrm{x}$
（i）当 $a$ 为何值时，$x$ 轴为曲线 $y=f$（ $x$ ）的切线；
（ii）用 $\min \{\mathrm{m}, \mathrm{n}\}$ 表示 $\mathrm{m}, \mathrm{n}$ 中的最小值，设函数 $\mathrm{h}(\mathrm{x})=\min \{\mathrm{f}(\mathrm{x}), \mathrm{g}(\mathrm{x})\} (x>0)$ ，讨论 $h(x)$ 零点的个数．

22．（本小题满分 14 分）
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的各项均为正数，$b_{n}=n\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} a_{n}\left(n \in \mathbf{N}_{+}\right), e$ 为自然对数的底数．
（I）求函数 $f(x)=1+x-\mathrm{e}^{x}$ 的单调区间，并比较 $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$ 与 $e$ 的大小；
（II）计算 $\frac{b_{1}}{a_{1}}, \frac{b_{1} b_{2}}{a_{1} a_{2}}, \frac{b_{1} b_{2} b_{3}}{a_{1} a_{2} a_{3}}$，由此推测计算 $\frac{b_{1} b_{2} \cdots b_{n}}{a_{1} a_{2} \cdots a_{n}}$ 的公式，并给出证明；

（III）令 $c_{n}=\left(a_{1} a_{2} \cdots a_{n}\right)^{\frac{1}{n}}$，数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{c_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和分别记为 $S_{n}, T_{n}$，证明：$T_{n}

21．（12分）设函数 $f(x)=a \ln x+\frac{1-a}{2} x^{2}-b x(a \neq 1)$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点（ $1, f$
（1））处的切线斜率为 0 ，
（1）求 b ；
（2）若存在 $x_{0} \geq 1$ ，使得 $f\left(x_{0}\right)<\frac{a}{a-1}$ ，求 $a$ 的取值范围．

21．（本小题满分 14 分）

已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}+2 x+a, x<0 \\ \ln x, x>0\end{array}\right.$, 其中 $a$ 是实数．设 $A\left(x_{1}, f\left(x_{1}\right)\right), B\left(x_{2}, f\left(x_{2}\right)\right)$ 为该函数图象上的两点，且 $x_{1}（I）指出函数 $f(x)$ 的单调区间；
（II）若函数 $f(x)$ 的图象在点 $A, B$ 处的切线互相垂直，且 $x_{2}<0$，求 $x_{2}-x_{1}$ 的最小值；
（III）若函数 $f(x)$ 的图象在点 $A, B$ 处的切线重合，求 $a$ 的取值范围．

21．（12分）已知函数 $f(x)=x^{3}+3 a x^{2}+3 x+1$ ．
（I）求 $a=\sqrt{2}$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性；
（II）若 $x \in[2,+\infty)$ 时，$f(x) \geq 0$ ，求 $a$ 的取值范围．

21．（12分）已知函数 $f(x)=x^{2}+a x+b, g(x)=e^{x}(c x+d)$ ，若曲线 $y=f(x)$ 和曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 都过点 $\mathrm{P}(0,2)$ ，且在点 P 处有相同的切线 $\mathrm{y}=4 \mathrm{x}+2$ ．
（I）求 $a, b, c, d$ 的值；
（II）若 $x \geq-2$ 时，$f(x) \leq k g(x)$ ，求 $k$ 的取值范围．

22．（本小题满分 12 分）
已知函数 $f(x)=x-1+\frac{a}{e^{x}} \quad(a \in R, e$ 为自然对数的底数 $)$
（I）若曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(x))$ 处的切线平行于 $x$ 轴，求 $a$ 的值；
（II）求函数 $f(x)$ 的极值；
（III）当 $a=1$ 时，若直线 $l: y=k x-1$ 与曲线 $y=f(x)$ 没有公共点，求 $k$ 的最大值．

22．（12分）已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\ln (1+\mathrm{x}) \frac{\mathrm{x}(1+\lambda \mathrm{x})}{1+\mathrm{x}}$ ．
（I）若 $x \geq 0$ 时，$f(x) \leq 0$ ，求 $\lambda$ 的最小值；
（II）设数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项 $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{\mathrm{n}}$ ，证明： $\mathrm{a}_{2 \mathrm{n}}-\mathrm{a}_{\mathrm{n}}+\frac{1}{4 \mathrm{n}}>\ln 2$ ．

20．（本题满分 13 分）
已知三点 $O(0,0), A(-2,1), B(2,1)$ ，曲线 $C$ 上任意一点 $M(x, y)$ 满足 $\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}=\overrightarrow{O M} \cdot(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B})+2$ ．求曲线 C 的方程；（2）动点 $\mathrm{Q}\left(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0}\right)\left(-2<\mathrm{x}_{0}<2\right)$ 在曲线 C 上，曲线 C 在点 Q 处的切线为 L ，问：是否存在定点 $\mathrm{P}(0, \mathrm{t})(\mathrm{t}<0)$ ，使得 L 与 PA ， $P B$ 都相交，交点分别为 $D, E$ ，且 $\triangle Q A B$ 与 $\triangle P D E$ 的面积之比是常数？若存在，求 $t$ 的值。若不存在，说明理由。

（20）（本小题满分 12 分）
在等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{3}+a_{4}+a_{5}=84, a_{9}=73$ ．
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）对任意 $m \in N^{*}$ ，将数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中落入区间 $\left(9^{m}, 9^{2 m}\right)$ 内的项的个数记为 $b_{m}$ ，求数列 $\left\{b_{m}\right\}$ 的前 $m$ 项和 $S_{m}$ ．

## （21）（本小题满分 13 分）

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，$F$ 是抛物线 $C: x^{2}=2 p y(p>0)$ 的焦点，$M$ 是抛物线 $C$ 上位于第一象限内的任意一点，过 $M, F, O$ 三点的圆的圆心为 $Q$ ，点 $Q$ 到抛物线 $C$ 的准线的距离为 $\frac{3}{4}$ ．
（I）求抛物线 $C$ 的方程；
（II）是否存在点 $M$ ，使得直线 $M Q$ 与抛物线 $C$ 相切于点 $M$ ？若存在，求出点 $M$ 的坐标
；若不存在，说明理由；
（III）若点 $M$ 的横坐标为 $\sqrt{2}$ ，直线 $l: y=k x+\frac{1}{4}$ 与抛物线 $C$ 有两个不同的交点 $A, B, l$与圆 $Q$ 有两个不同的交点 $D, E$ ，求当 $\frac{1}{2} \leq k \leq 2$ 时，$|A B|^{2}+|D E|^{2}$ 的最小值．

22 （本小题满分 13 分）
已知函数 $f(x)=\frac{\ln x+k}{e^{x}}$（ $k$ 为常数，$e=2.71828 \cdots$ 是自然对数的底数），曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线与 $x$ 轴平行．
（I）求 $k$ 的值；
（II）求 $f(x)$ 的单调区间；
（III）设 $g(x)=\left(x^{2}+x\right) f^{\prime}(x)$ ，其中 $f^{\prime}(x)$ 为 $f(x)$ 的导函数．证明：对任意 $x>0, g(x)<1+e^{-2}$.

# 2012年山东省高考数学试卷（理科）

21．（12分）已知函数 $f(x)=\frac{a \ln x}{x+1}+\frac{b}{x}$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程为 $x+2 y-3=0$ ．
（I）求 $a , b$ 的值；
（II）如果当 $x>0$ ，且 $x \neq 1$ 时，$f(x)>\frac{\ln x}{x-1}+\frac{k}{x}$ ，求 $k$ 的取值范围．

21．（12分）（2011•辽宁）已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\ln \mathrm{x}-\mathrm{ax}^{2}+(2-\mathrm{a}) \mathrm{x}$ ．
（I）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（II）设 $\mathrm{a}>0$ ，证明：当 $0<\mathrm{x}<\frac{1}{\mathrm{a}}$ 时， $\mathrm{f}\left(\frac{1}{\mathrm{a}}+\mathrm{x}\right)>\mathrm{f}\left(\frac{1}{\mathrm{a}}-\mathrm{x}\right)$ ；
（III）若函数 $\mathrm{y}=\mathrm{f}$（ x ）的图象与 x 轴交于 A ， B 两点，线段 AB 中点的横坐标为 $\mathrm{x}_{0}$ ，证明： $\mathrm{f}^{\prime} \left(\mathrm{x}_{0}\right)<0$.

21．（12分）已知函数 $f(x)=x^{3}+3 a x^{2}+(3-6 a) x+12 a-4(a \in R)$
（I）证明：曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $\mathrm{x}=0$ 处的切线过点 $(2,2)$ ；
（II）若 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处取得极小值，$x_{0} \in(1,3)$ ，求 $a$ 的取值范围。

21．（本小题满分14分）。

已知二次函数 $y=g(x)$ 的导函数的图像与直线 $y=2 x$ 平行，且 $y=g(x)$ 在 $x=-1$ 处取得极小值 $m-1(m \neq 0)$ 。设函数 $f(x)=\frac{g(x)}{x}$ 。
（1）若曲线 $y=f(x)$ 上的点 $p$ 到点 $Q(0,2)$ 的距离的最小值为 $\sqrt{2}$ ，求 $m$ 的值；
②$k(k \in R)$ 如何取值时，函数 $y=f(x)-k x$ 存在零点，并求出零点。

20．（本小题满分 14 分）
已知二次函数 $y=g(x)$ 的导函数的图像与直线 $y=2 x$ 平行，且 $y=g(x)$ 在 $x=-1$ 处取得极小值 $m-1(m \neq 0)$ ．设 $f(x)=\frac{g(x)}{x}$ ．
（1）若曲线 $y=f(x)$ 上的点 $P$ 到点 $Q(0,2)$ 的距离的最小值为 $\sqrt{2}$ ，求 $m$ 的值；
②$k(k \in R)$ 如何取值时，函数 $y=f(x)-k x$ 存在零点，并求出零点．

20．（本小题满分 12 分）
已知函数 $f(x)=x+\frac{a}{x}+b(x \neq 0)$ ，其中 $a, b \in \mathbf{R}$ ．
（I）若曲线 $y=f(x)$ 在点 $P(2, f(2))$ 处的切线方程为 $y=3 x+1$ ，求函数 $f(x)$ 的解析式；
（II）讨论函数 $f(x)$ 的单调性；
（III）若对于任意的 $a \in\left[\frac{1}{2}, 2\right]$ ，不等式 $f(x) \leqslant 10$ 在 $\left[\frac{1}{4}, 1\right]$ 上恒成立，求 $b$ 的取值范围．