（14 分）已知函数 f(x)= 1 4 x^ 3 -x^…——2019 高考数学第 20 题答案解析

【分析】（I）求导数 $f^{\prime}(x)$ ，由 $f^{\prime}(x)=1$ 求得切点，即可得点斜式方程；
（II）把所证不等式转化为 $-6 \leqslant f(x)-x \leqslant 0$ ，再令 $g(x)=f(x)-x$ ，利用导数研究 $g(x)$ 在 $[-2,4]$ 的单调性和极值点即可得证；
（III）先把 $F(x)$ 化为 $|g(x)-a|$ ，再利用（II）的结论，引进函数 $h(t)=|t-a|$ ，结合绝对值函数的对称性，单调性，通过对称轴 $t=a$ 与 -3 的关系分析即可．

【解答】解：（ I ）$f^{\prime}(x)=\frac{3}{4} \mathrm{x}^{2}-2 \mathrm{x}+1$ ，
由 $f^{\prime}(x)=1$ 得 $x\left(x-\frac{8}{3}\right)=0$ ，
得 $\mathrm{x}_{1}=0, \mathrm{x}_{2}=\frac{8}{3}$ ．
又 $f(0)=0, f\left(\frac{8}{3}\right)=\frac{8}{27}$ ，
$\therefore y=x$ 和 $y \frac{8}{27}=x-\frac{8}{3}$ ，
即 $y=x$ 和 $y=x-\frac{64}{27}$ ；
（II）证明：欲证 $x-6 \leqslant f(x) \leqslant x$ ，
只需证 $-6 \leqslant f(x)-x \leqslant 0$ ，
令 $g(x)=f(x)-x=\frac{1}{4} \mathrm{x}^{3}-\mathrm{x}^{2}, x \in[-2,4]$ ，
则 $g^{\prime}(x)=\frac{3}{4} \mathrm{x}^{2}-2 \mathrm{x}=\frac{3}{4} \mathrm{x}\left(\mathrm{x}-\frac{8}{3}\right)$ ，
可知 $g^{\prime}(x)$ 在 $[-2,0]$ 为正，在 $\left(0, \frac{8}{3}\right)$ 为负，在 $\left[\frac{8}{3}, 4\right]$ 为正，
$\therefore g(x)$ 在 $[-2,0]$ 递增，在 $\left[0, \frac{8}{3}\right]$ 递减，在 $\left[\frac{8}{3}, 4\right]$ 递增，
又 $g(-2)=-6, g(0)=0, g\left(\frac{8}{3}\right)=-\frac{64}{27}>-6, g(4)=0$ ，
$\therefore-6 \leqslant g(x) \leqslant 0$,
$\therefore x-6 \leqslant f(x) \leqslant x$ ；
（III）由（II）可得，
$F(x)=|f(x)-(x+a)|$
$=|f(x)-x-a|$
$=|g(x)-a|$
∵ 在 $[-2,4]$ 上，$-6 \leqslant g(x) \leqslant 0$ ，
令 $t=g(x), h(t)=|t-a|$ ，
则问题转化为当 $t \in[-6,0]$ 时，$h(t)$ 的最大值 $M(a)$ 的问题了，

①当 $a \leqslant-3$ 时，$M(a)=h(0)=|a|=-a$ ，
此时 $-a \geqslant 3$ ，当 $a=-3$ 时，$M(a)$ 取得最小值 3 ；
②当 $a \geqslant-3$ 时，$M(a)=h(-6)=|-6-a|=|6+a|$ ，
$\because 6+a \geqslant 3, \quad \therefore M(a)=6+a$,
也是 $a=-3$ 时，$M(a)$ 最小为 3 。
综上，当 $M(a)$ 取最小值时 $a$ 的值为 -3 ．
【点评】此题考查了导数的综合应用，构造法，转化法，数形结合法等，难度较大．