已知函数 f(x)=x^ 3 -x, g(x)=x^ 2…——2022 高考数学第 20 题答案解析

【答案】（1）3
②$[-1,+\infty)$

【解析】

【分析】（1）先由 $f(x)$ 上的切点求出切线方程，设出 $g(x)$ 上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函数值求出 $a$ 即可；
②设出 $g(x)$ 上的切点坐标，分别由 $f(x)$ 和 $g(x)$ 及切点表示出切线方程，由切线重合表示出 $a$ ，构造函数，求导求出函数值域，即可求得 $a$ 的取值范围．

【小问 1 详解】

由题意知，$f(-1)=-1-(-1)=0, f^{\prime}(x)=3 x^{2}-1, f^{\prime}(-1)=3-1=2$ ，则 $y=f(x)$ 在点 $(-1,0)$ 处的切线方程为 $y=2(x+1)$ ，即 $y=2 x+2$ ，设该切线与 $g(x)$ 切于点 $\left(x_{2}, g\left(x_{2}\right)\right), g^{\prime}(x)=2 x$ ，则 $g^{\prime}\left(x_{2}\right)=2 x_{2}=2$ ，解得 $x_{2}=1$ ，则 $g(1)=1+a=2+2$ ，解得 $a=3$ ；

【小问 2 详解】

$f^{\prime}(x)=3 x^{2}-1$ ，则 $y=f(x)$ 在点 $\left(x_{1}, f\left(x_{1}\right)\right)$ 处的切线方程为 $y-\left(x_{1}^{3}-x_{1}\right)=\left(3 x_{1}^{2}-1\right)\left(x-x_{1}\right)$ ，整理得 $y=\left(3 x_{1}^{2}-1\right) x-2 x_{1}^{3}$,

设该切线与 $g(x)$ 切于点 $\left(x_{2}, g\left(x_{2}\right)\right), g^{\prime}(x)=2 x$ ，则 $g^{\prime}\left(x_{2}\right)=2 x_{2}$ ，则切线方程为
$y-\left(x_{2}^{2}+a\right)=2 x_{2}\left(x-x_{2}\right)$ ，整理得 $y=2 x_{2} x-x_{2}^{2}+a$ ，
则 $\left\{\begin{array}{l}3 x_{1}^{2}-1=2 x_{2} \\ -2 x_{1}^{3}=-x_{2}^{2}+a\end{array}\right.$ ，整理得 $a=x_{2}^{2}-2 x_{1}^{3}=\left(\frac{3 x_{1}^{2}}{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}-2 x_{1}^{3}=\frac{9}{4} x_{1}^{4}-2 x_{1}^{3}-\frac{3}{2} x_{1}^{2}+\frac{1}{4}$ ，
令 $h(x)=\frac{9}{4} x^{4}-2 x^{3}-\frac{3}{2} x^{2}+\frac{1}{4}$ ，则 $h^{\prime}(x)=9 x^{3}-6 x^{2}-3 x=3 x(3 x+1)(x-1)$ ，令 $h^{\prime}(x)>0$ ，解得

$-\frac{1}{3}<x<0$ 或 $x>1$ ，
令 $h^{\prime}(x)<0$ ，解得 $x<-\frac{1}{3}$ 或 $0<x<1$ ，则 $x$ 变化时，$h^{\prime}(x), h(x)$ 的变化情况如下表：

则 $h(x)$ 的值域为 $[-1,+\infty)$ ，故 $a$ 的取值范围为 $[-1,+\infty)$ ．