构造函数方向错误高考易错题

22．（15 分）已知数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足：$x_{1}=1, x_{n}=x_{n+1}+\ln \left(1+x_{n+1}\right)\left(n \in N^{*}\right)$ ，证明：当 $n \in \mathrm{N}^{*}$ 时，
（ I ） $0（II） $2 x_{n+1}-x_{n} \leqslant \frac{x_{n} x_{n+1}}{2}$ ；
（III）$\frac{1}{2^{n-1}} \leqslant x_{n} \leqslant \frac{1}{2^{n-2}}$ ．

21．已知 $a>0$ ，函数 $f(x)=e^{a x} \sin x(x \in[0,+\infty))$ ，记 $x_{n}$ 为 $f(x)$ 的从小到大的第 $n\left(n \in N^{*}\right)$ 个极值点，证

明：
（1）数列 $\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}$ 是等比数列
（2）若 $a \geq \frac{1}{\sqrt{e^{2}-1}}$ ，则对一切 $n \in N^{*}, x_{n}<\left|f\left(x_{n}\right)\right|$ 恒成立．

22．（本小题满分 12 分，（I）小问 4 分，（II）小问 8 分）
设 $a_{1}=1, a_{n+1}=\sqrt{a_{n}^{2}-2 a_{n}+2}+b\left(n \in N^{*}\right)$
（I）若 $b=1$，求 $a_{2}, a_{3}$ 及数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）若 $b=-1$，问：是否存在实数 $c$ 使得 $a_{2 n}

（20）（本小题满分 12 分）
在等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{3}+a_{4}+a_{5}=84, a_{9}=73$ ．
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）对任意 $m \in N^{*}$ ，将数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中落入区间 $\left(9^{m}, 9^{2 m}\right)$ 内的项的个数记为 $b_{m}$ ，求数列 $\left\{b_{m}\right\}$ 的前 $m$ 项和 $S_{m}$ ．

## （21）（本小题满分 13 分）

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，$F$ 是抛物线 $C: x^{2}=2 p y(p>0)$ 的焦点，$M$ 是抛物线 $C$ 上位于第一象限内的任意一点，过 $M, F, O$ 三点的圆的圆心为 $Q$ ，点 $Q$ 到抛物线 $C$ 的准线的距离为 $\frac{3}{4}$ ．
（I）求抛物线 $C$ 的方程；
（II）是否存在点 $M$ ，使得直线 $M Q$ 与抛物线 $C$ 相切于点 $M$ ？若存在，求出点 $M$ 的坐标
；若不存在，说明理由；
（III）若点 $M$ 的横坐标为 $\sqrt{2}$ ，直线 $l: y=k x+\frac{1}{4}$ 与抛物线 $C$ 有两个不同的交点 $A, B, l$与圆 $Q$ 有两个不同的交点 $D, E$ ，求当 $\frac{1}{2} \leq k \leq 2$ 时，$|A B|^{2}+|D E|^{2}$ 的最小值．

22 （本小题满分 13 分）
已知函数 $f(x)=\frac{\ln x+k}{e^{x}}$（ $k$ 为常数，$e=2.71828 \cdots$ 是自然对数的底数），曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线与 $x$ 轴平行．
（I）求 $k$ 的值；
（II）求 $f(x)$ 的单调区间；
（III）设 $g(x)=\left(x^{2}+x\right) f^{\prime}(x)$ ，其中 $f^{\prime}(x)$ 为 $f(x)$ 的导函数．证明：对任意 $x>0, g(x)<1+e^{-2}$.

# 2012年山东省高考数学试卷（理科）

17．（本小题满分 12 分）
图4是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图。
（I）求直方图中 $x$ 的值．

（II）在棱 $\mathrm{C}_{1} \mathrm{D}_{1}$ 上是否存在一点 F ，使 $\mathrm{B}_{1} \mathrm{~F} / /$ 平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{BE}$ ？证明你的结论．

图5

## 19．（本小题满分 13 分）

为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距 8 km 的 $A, B$ 两点各建一个考察基地。视冰川面为平面形，以过 $A, B$ 两点的直线为 $x$ 轴，线段 $A B$ 的垂直平分线为 $y$ 轴建立平面直角坐标系（图6）。在直线 $x=2$ 的右侧，考察范围为到点 $B$ 的距离不超过 $\frac{6 \sqrt{5}}{5} \mathrm{~km}$ 的区域；在直线 $x=2$ 的左侧，考察范围为到 $A, B$ 两点的距离之和不超过 $4 \sqrt{5} \mathrm{~km}$ 的区域。
（I）求考察区域边界曲线的方程；
（II）如图6所示，设线段 $P_{1} P_{2}, P_{2} P_{3}$ 是冰川的部分边界线 （不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动 0.2 km ，以后每年移动的距离为前一年的 2 倍，求冰川边界线移动到考察区域所

图6

## 20．（本小题满分 13 分）

已知函数 $f(x)=x^{2}+b x+c(b, c \in R)$ ，对任意的 $x \in R$ ，恒有 $f^{\prime}(x) \leq f(x)$ ．

（I）证明：当 $x \geq 0$ 时，$f(x) \leq(x+c)^{2}$ ；
（II）若对满足题设条件的任意b，c，不等式 $f(c)-f(b) \leq M\left(c^{2}-b^{2}\right)$ 恒成立，求 M的最小值．

## 21．（本小题满分 13 分）

数列 $\left\{a_{n}\right\}\left(n \in N^{*}\right)$ 中，$a_{1}=a, a_{n+1}$ 是函数 $f_{n}(x)=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{1}{2}\left(3 a_{n}+n^{2}\right) x^{2}+3 n^{2} a_{n} x$ 的极小值点。
（I）当 $a=0$ 时，求通项 $a_{n}$ ；
（II）是否存在 $a$ ，使数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等比数列？若存在，求 $a$ 的取值范围；若不存在，请说明理由．

## 2010年湖南省高考数学试卷（理科）