2015_退役省自主命题 (2015·文)
18．（本题满分 12 分）
全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响了的综合指标。根据相关报道提供的全网传播 2015年某全国性大型活动的＂省级卫视新闻台＂融合指数的数据，对名列前 20 名的＂省级卫视新闻台＂的融合指数进行分组统计，结果如表所示。
| 组号 | 分组 | 频数 |
|---|---|---|
| 1 | $[4,5)$ | 2 |
| 2 | $[5,6)$ | 8 |
|---|---|---|
| 3 | $[6,7)$ | 7 |
| 4 | $[7,8]$ | 3 |
（I）现从融合指数在 $[4,5)$ 和 $[7,8]$ 内的＂省级卫视新闻台＂中随机抽取 2 家进行调研，求至少有 1 家的融合指数在 $[7,8]$ 的概率；
（．II）根据分组统计表求这 20 家＂省级卫视新闻台＂的融合指数的平均数。
【答案】（ I ）$\frac{9}{10}$ ；（ II ） 6.05 ．
【解析】解法一：（I）融合指数在 $[7,8]$ 内的＂省级卫视新闻台＂记为 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ ；融合指数在 $[4,5)$ 内的＂省级卫视新闻台＂记为 $\mathrm{B}_{1}, \mathrm{~B}_{2}$ 。从融合指数在 $[4,5)$ 和 $[7,8]$ 内的＂省级卫视新闻台＂中随机抽取 2 家的所有基本事件是：$\left\{A_{1}, A_{2}\right\},\left\{A_{1}, A_{3}\right\},\left\{A_{2}, A_{3}\right\},\left\{A_{1}, B_{1}\right\},\left\{A_{1}, B_{2}\right\},\left\{A_{2}, B_{1}\right\},\left\{A_{2}, B_{2}\right\},\left\{A_{3}, B_{1}\right\}$ ， $\left\{A_{3}, B_{2}\right\}$ ，$\left\{B_{1}, B_{2}\right\}$ ，共 10 个．
其中，至少有 1 家融合指数在 $[7,8]$ 内的基本事件是：$\left\{A_{1}, A_{2}\right\},\left\{A_{1}, A_{3}\right\},\left\{A_{2}, A_{3}\right\},\left\{A_{1}, B_{1}\right\},\left\{A_{1}, B_{2}\right\}$ ， $\left\{A_{2}, B_{1}\right\},\left\{A_{2}, B_{2}\right\},\left\{A_{3}, B_{1}\right\},\left\{A_{3}, B_{2}\right\}$ ，共 9 个．
所以所求的概率 $\mathrm{P}=\frac{9}{10}$ ．
（II）这 20 家＂省级卫视新闻台＂的融合指数平均数等于 $4.5 \times \frac{2}{20}+5.5 \times \frac{8}{20}+6.5 \times \frac{7}{20}+7.5 \times \frac{3}{20}=6.05$ ．解法二：（I）融合指数在 $[7,8]$ 内的＂省级卫视新闻台＂记为 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ ；融合指数在 $[4,5)$ 内的＂省级卫视新闻台＂记为 $\mathrm{B}_{1}, \mathrm{~B}_{2}$ 。从融合指数在 $[4,5)$ 和 $[7,8]$ 内的＂省级卫视新闻台＂中随机抽取 2 家的所有基本事件是：$\left\{A_{1}, A_{2}\right\},\left\{A_{1}, A_{3}\right\},\left\{A_{2}, A_{3}\right\},\left\{A_{1}, B_{1}\right\},\left\{A_{1}, B_{2}\right\},\left\{A_{2}, B_{1}\right\},\left\{A_{2}, B_{2}\right\},\left\{A_{3}, B_{1}\right\}$ ， $\left\{A_{3}, B_{2}\right\}$ ，$\left\{B_{1}, B_{2}\right\}$ ，共 10 个．
其中，没有 1 家融合指数在 $[7,8]$ 内的基本事件是：$\left\{\mathrm{B}_{1}, \mathrm{~B}_{2}\right\}$ ，共 1 个．
所以所求的概率 $\mathrm{P}=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}$ ．
（II）同解法一，
【考点定位】 1 、古典概型； 2 、平均值．
【名师点睛】本题考差古典概型和平均数，利用古典概型的＂等可能＂＂有限＂性的特点，能方便的求出概率。由实际意义构造古典概型，首先确定试验的样本空间结构并计算它所含样本点总数，然后再求出事件 A所含基本事件个数，代入古典概型的概率计算公式；根据频率分布表求平均数，对于每组的若干个数可以采取区间中点值作为该组数据的数值，再求平均数．