古典概型　·　历年高考数学真题与解析

13．$A, B, C, D, E$ 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加．①甲选到 A 的概率为 $\_\_\_\_$ ；已知乙选了 A活动，他再选择 $B$ 活动的概率为 $\_\_\_\_$。

16．有 6 个相同的球，分别标有数字 $1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6$ ，从中不放回地随机抽取 3 次，每次取 1 个球．记 $m$为前两次取出的球上数字的平均值，$n$ 为取出的三个球上数字的平均值，则 $m$ 与 $n$ 差的绝对值不超过 $\frac{1}{2}$ 的概率是

19．设 $m$ 为正整数，数列 $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{4 m+2}$ 是公差不为 0 的等差数列，若从中删去两项 $a_{i}$ 和 $a_{j}(i（1）写出所有的 $(i, j), 1 \leq i（2）当 $m \geq 3$ 时，证明：数列 $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{4 m+2}$ 是 $(2,13)-$ 可分数列；
（3）从 $1,2, \ldots, 4 m+2$ 中一次任取两个数 i 和 $j(i\frac{1}{8}$ ．

5．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ）

18．为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续 40 天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用＂＋＂表示＂上涨＂，即当天价格比前一天价格高；用＂－＂表示＂下跌＂，即当天价格比前一天价格低；用＂ 0 ＂表示＂不变＂，即当天价格与前一天价格相同。

用频率估计概率．
（1）试估计该农产品价格＂上涨＂的概率；
（2）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取 4 天，试估计该农产品价格在这 4 天中 2 天＂上涨＂、 1 天＂下跌＂、 1 天＂不变＂的概率；
（3）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响。判断第 41 天该农产品价格＂上涨＂＂下跌＂和＂不变＂的概率估计值哪个最大。（结论不要求证明）

4．某校文艺部有 4 名学生，其中高一、高二年级各 2 名。从这 4 名学生中随机选 2 名组织校文艺汇演，则这 2 名学生来自不同年级的概率为（ ）

9．某学校举办作文比赛，共 6 个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（）

14．从甲、乙等 5 名同学中随机选 3 名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 $\_\_\_\_$。

15．从正方体的 8 个顶点中任选 4 个，则这 4 个点在同一个平面的概率为 $\_\_\_\_$ ．

17．甲、乙两城之间的长途客车均由 $A$ 和 $B$ 两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的 500 个班次，得到下面列联表：

（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；
（2）能否有 $90 \%$ 的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
附：$K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$ ，

6．从分别写有 $1,2,3,4,5,6$ 的 6 张卡片中无放回随机抽取 2 张，则抽到的 2 张卡片上的数字之积是 4 的倍数的概率为

15.

袋中有 4 个红球 $m$ 个黄球，$n$ 个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为 $\xi$ ，若取出的两个球都是红球的概率为 $\frac{1}{6}$ ，一红一黄的概率为 $\frac{1}{3}$ ，则 $m-n=$ $\_\_\_\_$ ，$E(\xi)=$ $\_\_\_\_$ ．

19．为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了 100 天空气中的 PM2．5和 $\mathrm{SO}_{2}$ 浓度（单位：$\mu \mathrm{g} / \mathrm{m}^{3}$ ），得下表：

（1）估计事件＂该市一天空气中 PM2．5 浓度不超过 75 ，且 $\mathrm{SO}_{2}$ 浓度不超过 150 ＂的概率；
（2）根据所给数据，完成下面的 $2 \times 2$ 列联表：

（3）根据②中的列联表，判断是否有 $99 \%$ 的把握认为该市一天空气中 PM 2.5 浓度与 $\mathrm{SO}_{2}$ 浓度有关？
附：$K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$,

25．甲口袋中装有 2 个黑球和 1 个白球，乙口袋中装有 3 个白球。现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复 $n$ 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 $X_{n}$ ，恰有 2 个黑球的概率为 $p_{n}$ ，恰有 1 个黑球的概

率为 $q_{n}$ ．
（1）求 $p_{1} \cdot q_{1}$ 和 $p_{2} \cdot q_{2}$ ；
（2）求 $2 p_{n}+q_{n}$ 与 $2 p_{n-1}+q_{n-1}$ 的递推关系式和 $X_{n}$ 的数学期望 $E\left(X_{n}\right)$（用 $n$ 表示）。

## 答案解析

4．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷 2 次，观察向上的点数，则点数和为 5 的概率是 $\_\_\_\_$ ．

4．设 $O$ 为正方形 $A B C D$ 的中心，在 $O, A, B, C, D$ 中任取3点，则取到的3点共线的概率为（

15．2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除。某单位老、中、青员工分别有 $72,108,120$ 人，现采用分层

抽样的方法，从该单位上述员工中抽取 25 人调查专项附加扣除的享受情况．
（I）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
（II）抽取的 25 人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有 6 人，分别记为 $A, B, C, D, E, F$ 。享受情况如右表，其中＂◯＂表示享受，＂$\times$＂表示不享受．现从这 6 人中随机抽取 2 人接受采访．

（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设 $M$ 为事件＂抽取的 2 人享受的专项附加扣除至少有一项相同＂，求事件 $M$ 发生的概率．

23．（本小题满分 10 分）在平面直角坐标系 $x O y$ 中，设点集 $A_{n}=\{(0,0),(1,0),(2,0), \ldots,(n, 0)\}$ ， $B_{n}=\{(0,1),(n, 1)\}, C_{n}=\{(0,2),(1,2),(2,2), \cdots,(n, 2)\}, n \in \mathbf{N}^{*}$.

令 $M_{n}=A_{n} \cup B_{n} \cup C_{n}$ 。从集合 $M_{n}$ 中任取两个不同的点，用随机变量 $X$ 表示它们之间的距离．
（1）当 $n=1$ 时，求 $X$ 的概率分布；
（2）对给定的正整数 $n(n \geq 3)$ ，求概率 $P(X \leq n)$（用 $n$ 表示）．

# 2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） <br> 数学 I <br> 注意事项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。本卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4．作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
参考公式：
样本数据 $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ 的方差 $s^{2}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}$ ，其中 $\bar{x}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i}$ 。
柱体的体积 $V=S h$ ，其中 $S$ 是柱体的底面积，$h$ 是柱体的高．
锥体的体积 $V=\frac{1}{3} S h$ ，其中 $S$ 是锥体的底面积，$h$ 是锥体的高。

3．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是

4．生物实验室有 5 只兔子，其中只有 3 只测量过某项指标，若从这 5 只兔子中随机取出 3 只，则恰有 2 只测量过该指标的概率为

6．我国古代典籍《周易》用＂卦＂描述万物的变化．每一＂重卦＂由从下到上排列的 6 个爻组成，爻分为阳爻＂——＂和阴爻＂——
＂，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有 3 个阳爻的概率是

6．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 A．

（15）（本小题满分 13 分）
已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为 $240,160,160$ ．现采用分层抽样的方法从中抽取 7 名同学去某敬老院参加献爱心活动。
（I）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
（II）设抽出的7名同学分别用 $A, B, C, D, E, F, G$ 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作。
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设 $M$ 为事件＂抽取的 2 名同学来自同一年级＂，求事件 $M$ 发生的概率．

17．（13 分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：

好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
（I）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
（II）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；
（III）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化。假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加 0.1 ，哪类电影的好评率减少 0.1 ，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）

5．（5分）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（）

6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为
$\_\_\_\_$
Δ ．

8．（5分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果 ．哥德巴赫猜想是＂每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和＂，如 $30=7+23$ －在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是（

11．（5分）从分别写有1，2，3，4，5的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（

（16）（本小题满分 12 分）
某旅游爱好者计划从 3 个亚洲国家 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ 和 3 个欧洲国家 $B_{1}, B_{2}, B_{3}$ 中选择 2 个国家去旅游。
（I）若从这 6 个国家中任选 2 个，求这 2 个国家都是亚洲国家的概率；
（II）若从亚洲国家和欧洲国家中个任选 1 个，求这 2 个国家包括 $A_{1}$ 但不包括 $B$ 的概率。

18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完。根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：${ }^{\circ} \mathrm{C}$ ）有关。如果最高气温不低于 25 ，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间［ 20,25 ），需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20 ，需求量为 200 瓶。为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表 ：

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 $Y$（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，写出 Y 的所有可能值，并估计 Y 大于零的概率。

3．（5分）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫。从这 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔，则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为

8．（5分）从分别标有 $1,2, \ldots, 9$ 的 9 张卡片中不放回地随机抽取 2 次，每次抽取 1 张，则抽到在 2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是（）

11．某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为 $\_\_\_\_$。

13．从 2、 3、 $8 , 9$ 任取两个不同的数值，分别记为 $a , b$ ，则 $\log _{a} b$ 为整数的概率 $=$ $\_\_\_\_$ ．

14．如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，$O$ 为正八边形 $A_{1} A_{2} \cdots A_{8}$ 的中心，$A_{1}(1,0)$ ．任取不同的两点 $A_{i}, A_{j}$ ，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{O P}+\overrightarrow{O A_{i}}+\overrightarrow{O A_{j}}=\overrightarrow{0}$ ，则点 $P$ 落在第一象限的概率是 $\_\_\_\_$

16．（13分）（ 2016 •天津）某小组共 10 人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为 $1,2,3$ 的人数分别为 $3,3,4$ ，现从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会．
（1）设A为事件＂选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4 ＂，求事件A发生的概率；
②设 $X$ 为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望 －

16．（13 分）A，B，C 三个班共有 100 名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）：

（I）试估计 C 班的学生人数；
（II）从 A 班和 C 班抽出的学生中，各随机选取一个人，A 班选出的人记为甲， C 班选出的人记为乙。假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；
（III）再从 A，B，C 三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7， 9， 8.25 （单位：小时），这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为 $\mu_{1}$ ，表格中数据的平均数记为 $\mu_{0}$ ，试判断 $\mu_{0}$ 和 $\mu_{1}$ 的大小．（结论不要求证明）

18．（12分）某保险的基本保费为 a （单位：元），继续购买该保险的投保人成为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：

（I）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（II）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出 $60 \%$的概率；
（III）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值。

3．（5分）为美化环境，从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，余下的 2 种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（ ）

5．（5分）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是 M ， $\mathrm{I}, \mathrm{N}$ 中的一个字母，第二位是 $1,2,3,4,5$ 中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（ ）

6．（5 分）从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人，则甲被选中的概率为（）

7．（5分）（2016•江苏）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有 $1,2,3,4,5$ ， 6 个点的正方体玩具）先后抛掷 2 次，则出现向上的点数之和小于 10 的概率是 $\_\_\_\_$ ．

12．设复数 $z=(x-1)+y i(x, y \in R)$ ，若 $|z| \leq 1$ ，则 $y \geq x$ 的概率（ ）

15．设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为 $27,9,18$ ，先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取 6 名运动员参加比赛。
（I）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数；
（II）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为 $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5}, A_{6}$ ，从这 6 名运动员中随机抽取 2 名参加双打比赛。
（i）用所给编号列出所有可能的结果；
（ii）设 A 为事件＂编号为 $A_{5}, A_{6}$ 的两名运动员至少有一人被抽到＂，求事件 A 发生的概率。

16．（13 分）A，B 两组各有 7 位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：

A 组：10，11，12，13，14，15， 16
B 组；12，13，15，16，17，14，a
假设所有病人的康复时间相互独立，从 A，B 两组随机各选 1 人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙。
（I）求甲的康复时间不少于 14 天的概率；
（II）如果 $a=25$ ，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
（III）当 a 为何值时， $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）

16．（本小题满分 12 分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有 2 个红球 $A_{1}, A_{2}$ 和 1 个白球 $B$ 的甲箱与装有 2 个红球 $a_{1}, a_{2}$ 和 2 个白球 $b_{1}, b_{2}$ 的乙箱中，各随机摸出 1个球，若摸出的 2 个球都是红球则中奖，否则不中奖。
（I）用球的标号列出所有可能的摸出结果；
（II）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由。

17．（本小题满分 13 分，（1）小问 5 分，（2）小问 8 分）
端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有 10 个粽子，其中豆沙粽 2 个，肉粽 3 个，白粽 5 个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取 3 个。
（1）求三种粽子各取到 1 个的概率；
（2）设 $X$ 表示取到的豆沙粽个数，求 $X$ 的分布列与数学期望

18．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了 40 个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表

$A$ 地区用户满意度评分的频率分布直方图

$B$ 地区用户满意度评分的频率分布直方图

B地区用户满意度评分的频数分布表

（1）做出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）
（II）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：

估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由。

18．（本题满分 12 分）
全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响了的综合指标。根据相关报道提供的全网传播 2015年某全国性大型活动的＂省级卫视新闻台＂融合指数的数据，对名列前 20 名的＂省级卫视新闻台＂的融合指数进行分组统计，结果如表所示。

（I）现从融合指数在 $[4,5)$ 和 $[7,8]$ 内的＂省级卫视新闻台＂中随机抽取 2 家进行调研，求至少有 1 家的融合指数在 $[7,8]$ 的概率；
（．II）根据分组统计表求这 20 家＂省级卫视新闻台＂的融合指数的平均数。

4．（5分）如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3 个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取 3 个不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为（ ）

5．（5分）（2015•江苏）袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球、 1 只红球、 2 只黄球，从中一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不同的概率为 $\_\_\_\_$。

7．（5分）
（2015 • 广东）
已知 5 件产品中有 2 件次品，其余为合格品．现从这 5 件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为

11．从 $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ 中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是 6 的概率为 $\_\_\_\_$。

12．从字母 $a, b, c, d, e$ 中任取两个不同字母，则取字母 $a$ 的概率为 $\_\_\_\_$ ．

13．（5分）将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行，则 2 本数学书相邻的概率为 $\_\_\_\_$ $\frac{2}{3}$。

13．（5分）甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种颜色的运动服中选择 1 种，则他们选择相同颜色运动服的概率为 $\_\_\_\_$ $\frac{1}{3}$。

12.10 件产品中有 7 件正品， 3 件次品，从中任取 4 件，则恰好取到 1 件次品的概率是 $\_\_\_\_$ ．

（13）【2014年上海，文 13 ， 5 分】为强化安全意识，某商场拟在未来的连续 10 天中随机选择 3 天进行紧急疏散演练，则选择的 3 天恰好为连续 3 天的概率是 $\_\_\_\_$
（结果用最简分数表示）。

14．如图，在边长为 $e$（ $e$ 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为 $\_\_\_\_$。

（16）（本小题满分 12 分）
海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如右表所示。工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取 6 件样品进行检测。

（I）求这 6 件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
（II）若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测，求这 2 件商品来自相同地区的概率．

16．（13 分）李明在 10 场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相互独立）；

（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过 0.6 的概率；
（2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过 0.6 ，一场不超过 0.6 的概率；
（3）记 $\overline{\mathrm{x}}$ 是表中 10 个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记 x 为李明在这场比赛中的命中次数，比较 EX 与 $\overline{\mathrm{x}}$ 的大小（只需写出结论）。

16．（本小题满分 12 分）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字 $1,2,3$，这三张卡片除标记的数字

外完全相同。随机有放回地抽取 3 次，每次抽取 1 张，将抽取的卡片上的数字依次记为 $a, ~ b, ~ c$．
（I）求＂抽取的卡片上的数字满足 $a+b=c$＂的概率；
（II）求＂抽取的卡片上的数字 $a, b, c$ 不完全相同＂的概率．

18．（本小题满分 12 分）
某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：

（I）根据表中数据，问是否有 $95 \%$ 的把握认为＂南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异＂； （II）已知在被调查的北方学生中有 5 名数学系的学生，其中 2 名喜欢甜品，现在从这 5 名学生中随机抽取 3 人，求至多有 1 人喜欢甜品的概率．

附：$\chi^{2}=\frac{n\left(n_{11} n_{22}-n_{12} n_{21}\right)^{2}}{n_{1+} n_{2+} n_{+1} n_{+2}}$ ，

19．（本小题满分 12 分）
某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：

（1）若每辆车的投保金额均为 2800 元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
（2）在样本车辆中，车主是新司机的占 $10 \%$ ，在赔付金额为 4000 元的样本车辆中，车主是新司机的占 $20 \%$ ，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为 4000 元的概率．

20．（（本小题满分 12 分）
根据世行 2013 年新标准，人均 GDP 低于 1035 美元为低收入国家；人均 GDP 为 1035－4085 元为中等偏下收入国家；人均 GDP 为4085－12616美元为中等偏上收入国家；人均 GDP 不低于 12616 美元为高收入国家。某城市有 5 个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均 GDP 如下表：

（1）判断该城市。人均 GDP 是否达到中等偏上收入国家标准；
（2）现从该城市 5 个行政区中随机抽取 2 个，求抽到的 2 个行政区人均 GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率．

3．掷两颗均匀的骰子，则点数之和为 5 的概率等于

4．从 $1,2,3,6$ 这 4 个数中一次随机地取 2 个数，则所取 2 个数的乘积为 6 的概率是 $\_\_\_\_$ A ．

5．随机投掷两枚均匀的投骰子，他们向上的点数之和不超过 5 的概率为 $P_{1}$ ，点数之和大于 5 的概率为 $P_{2}$ ，点数之和为偶数的概率为 $P_{3}$ ，则

5．（5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为

6．从正方形四 个顶点及其中心这 5 个点中，任取 2 个点，则这 2 个点的距离小于该正方形边长的概率为（）

6．从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中，任取 2 个点，则这 2 个点的距离不小于该正方形边长的概率为

13．（4分）从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是 $\_\_\_\_$

## 0.2

14．（5分）从 n 个正整数 $1,2, \ldots, \mathrm{n}$ 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于 5 的概率为 $\frac{1}{14}$ ，则 $\mathrm{n}=$ $\_\_\_\_$ ．

16．（13分）如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图。空气质量指数小于 100 表示空气质量优良，空气质量指数大于 200 表示空气重度污染。某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该市，并停留 2 天。

（I）求此人到达当日空气质量优良的概率；
（II）求此人在该市停留期间只有 1 天空气重度污染的概率；
（III）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）

17．（2013广东，文17）（本小题满分 12 分）从一批苹果中，随机抽取 50 个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：

（1）根据频数分布表计算苹果的重量在［90，95）的频率；

（2）用分层抽样的方法从重量在［80，85）和［95，100）的苹果中共抽取4个，其中重量在［80，85）的有几个？
（3）在（2）中抽出的 4 个苹果中，任取 2 个，求重量在［80，85）和［95，100）中各有 1 个的概率．

18．（本小题满分 12 分）
某人在如图4所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横的交叉点记忆三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量 Y （单位： kg）与它的＂相近＂作物株数 X 之间的关系如下表所示：

这里，两株作物＂相近＂是指它们之间的直线距离不超过 1 米。

图4

（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好＂相近＂的概率；

（II）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望。

18、（本小题满分 12 分）
某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量 $x$ 在 $1,2,3, \cdots, 24$ 这 24 个整数中等可能随机产生。
（I）分别求出按程序框图正确编程运行时输出 $y$ 的值为 $i$ 的概率 $P_{i}(i=1,2,3)$；

（II）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行 $n$ 次后，统计记录了输出 $y$的值为 $i(i=1,2,3)$ 的频数。以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据。

当 $n=2100$ 时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出 $y$ 的值为 $i(i=1,2,3)$ 的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大。

18．（本小题满分 12 分）
某人在如图3所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验，一株该种作物的年收货量 $Y$（单位： kg ）与它的＂相近＂作物株数 $X$ 之间的关系如下表所示：

这里，两株作物＂相近＂是指它们之间的直线距离不超过 1 米。
（I）完成下表，并求所种作物的平均年收获量；

（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为 48 kg 的概率．

20．（12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．
（I）求第4局甲当裁判的概率；
（II）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望。

3．（5分）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的 2 个数之差的绝对值为 2的概率是（ ）

（5）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被

录用的概率为

（10）袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的球，其中有 1 个红球， 2 个白球和 3 个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于

15．（2012•天津）某地区有小学 21 所，中学 14 所，大学 7 所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取 6 所学校对学生进行视力调查．
（1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；
（2）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析。
（i）列出所有可能的抽取结果；
（ii）求抽取的2所学校均为小学的概率．

（15）某艺校在一天的 6 节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各 1 节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔 1 节艺术课的概率为 $\_\_\_\_$ （用数字作答）。

2．（5 分）设不等式组 $\left\{\begin{array}{l}0 \leqslant x \leqslant 2 \\ 0 \leqslant y \leqslant 2\end{array}\right.$ ，表示的平面区域为 D，在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是

3．（5 分）设不等式组 $\left\{\begin{array}{l}0 \leqslant x \leqslant 2 \\ 0 \leqslant y \leqslant 2\end{array}\right.$ ，表示的平面区域为 D ，在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是（ ）

6．现有 10 个数，它们能构成一个以 1 为首项，-3 为公比的等比数列，若从这 10 个数中随机抽取一个数，则它小于 8的概率是 $\_\_\_\_$ ． ．

（第4题）

10．（5分）（2011•陕西）甲乙两人一起去游＂2011西安世园会＂，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是（ ）

16．（本小题满分 13 分）
学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有 3 个白球、 2 个黑球，乙箱子里装有 1 个白球、 2 个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球，若摸出的白球不少于 2 个，则获奖。（每次游戏结束后将球放回原箱）
（I）求在 1 次游戏中，
（i）摸出 3 个白球的概率；
（ii）获奖的概率；
（II）求在 2 次游戏中获奖次数 $X$ 的分布列及数学期望 $E(X)$ ．

15．编号为 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{16}$ 的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：

（I）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；

（II）从得分在区间［ 20,30 ）内的运动员中随机抽取 2 人，
（i）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果；（ii）求这 2 人得分之和大于 50 的概率

16．（本小题共13分）
以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以x表示。

（1）如果 $\mathrm{x}=8$ ，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；
（2）如果 $x=9$ ，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为 19 的概率．
（注：方差 $s^{2}=\frac{1}{n}\left[\left(x_{1}-\vec{x}\right)^{2}+\left(x_{2}-\vec{x}\right)^{2}+\cdots\left(x_{n}-\vec{x}\right)^{2}\right]$ ，其中 $\vec{x}$ 为 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 的平均数）

4．（ 5 分）有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为

5．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是
$\_\_\_\_$ A。

6．（5分）有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（

8．（5分）（2011•浙江）从已有 3 个红球、 2 个白球的袋中任取 3 个球，则所取的 3 个球中至少有 1 个白球的概率是

9、（2011 • 浙江）有 5 本不同的书，其中语文书 2 本，数学书 2 本，物理书 1 本．若将其随机地摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是（）

10.

从一副混合后的扑克牌（ 52 张）中随机抽取 2 张，则＂抽出的 2 张均为红桃＂的概率为 $\_\_\_\_$ $\frac{3}{51}$ （结果用最简分数表示）。

17．（本小题满分 12 分）
为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组、有关数据见下表（单位：人）

（1）求 $x, y$ ；
（II）若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，求这二人都来自高校C的概率。

（18）（本小题满分 12 分）
有编号为 $\mathrm{A}_{1}, \mathrm{~A}_{2}, \ldots \mathrm{~A}_{10}$ 的 10 个零件，测量其直径（单位： cm ），得到下面数据：

其中直径在区间 $[1.48,1.52]$ 内的零件为一等品。
（I）从上述 10 个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；
（II）从一等品零件中，随机抽取 2 个。
（i）用零件的编号列出所有可能的抽取结果；
（ii）求这 2 个零件直径相等的概率。

9．从一副混合后的扑克牌（ 52 张）中随机抽取 1 张，事件 A 为＂抽得红桃 K ＂，事件 B 为＂抽得为黑桃＂，则概率 $P(A \cup B)==\frac{7}{26}$（结果用最简分数表示）

10．甲、乙、丙、丁 4 个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这 4个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为

（18）（本小题满分 12 分）
为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为 2000 万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡），某旅游公司组织了一个有 36 名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中 $\frac{3}{4}$ 是省外游客，其余是省内游客，在省外游客中有 $\frac{1}{3}$ 持金卡，在省内游客中有 $\frac{2}{3}$ 持银卡．
（I）在该团中随即采访 2 名游客，求恰有 1 人持银卡的概率；
（II）在该团中随机采访 2 名游客，求其中持金卡与持银卡人数相当的概率．

（18）（满分 12 分）在 10 件产品中，有 3 件一等品， 4 件二等品， 3 件三等品。从这 10 件产品中任取 3 件，求：
（I）取出的 3 件产品中一等品件数 X 的分布列和数学期望；
（II）取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。

5．现有 5 根竹竿，它们的长度（单位： m ）分别为 $2.5,2.6,2$ ．
$7,2.8,2.9$ ，若从中一次随机抽取 2 根竹竿，则它们的长度恰好相差 0.3 m 的概率为 $\_\_\_\_$。

11．电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一

时刻显示的四个数字之和为 23 的概率为

17．（本小题共13分）
甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 $A, B, C, D$ 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者。
（I）求甲、乙两人同时参加 $A$ 岗位服务的概率；
（II）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
（III）设随机变量 $\xi$ 为这五名志愿者中参加 $A$ 岗位服务的人数，求 $\xi$ 的分布列．

18．（12分）（2008 • 陕西）一个口袋中装有大小相同的 2 个红球， 3 个黑球和 4 个白球，从口袋中一次摸出一个球，摸出的球不再放回。
（I）连续摸球 2 次，求第一次摸出黑球，第二次摸出白球的概率；
（II）如果摸出红球，则停止摸球，求摸球次数不超过 3 次的概率。

（18）（本小题共 13 分）
甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者。
（I）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；
（II）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率。

19、（本小题满分 12 分）为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校 6 名学生进行问卷调查， 6 人得分情况如下： $5,6,7,8,9,10$ 。把这 6 名学生的得分看成一个总体。（1）求该总体的平均数；（2）用简单随机抽样方法从这 6 名学生中抽取 2 名，他们的得分组成一个样本。求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率。

（19）（本题 14 分）一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球，已知袋中共有 10 个球，从中任意摸出 1 个球，得到黑球的概率是 $\frac{2}{5}$ ；从中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个白球的概率是 $\frac{7}{9}$ 。求：
（I）从中任意摸出 2 个球，得到的数是黑球的概率；
（II）袋中白球的个数。

20．（12分）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物。血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：

方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止。

方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验。若结果呈阳性则表明患病动物为这 3 只中的 1 只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验。
（I）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；
（II）$\xi$ 表示依方案乙所需化验次数，求 $\xi$ 的期望。

6．（5分）从20名男同学， 10 名女同学中任选 3 名参加体能测试，则选到的 3 名同学中既有男同学又有女同学的概率为（ ）

7．（5分）（2008•山东）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为 $1,2,3, \ldots$ ， 18 的 18 名火炬手。若从中任选 3 人，则选出的火炬手的编号能组成以 3 为公差的等差数列的概率为

7． 4 张卡片上分别写有数字 $1,2,3,4$ ，从这 4 张卡片中随机抽取 2 张，则取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率为

8．（5 分）（ $2008 \bullet$ 四川）在一次读书活动中，一同学从 4 本不同的科技书和 2 本不同的文艺书中任选 3 本，则所选的书中既有科技书又有文艺书的概率为（）