古典概型　·　历年高考数学真题与解析

16．有 6 个相同的球，分别标有数字 $1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6$ ，从中不放回地随机抽取 3 次，每次取 1 个球．记 $m$为前两次取出的球上数字的平均值，$n$ 为取出的三个球上数字的平均值，则 $m$ 与 $n$ 差的绝对值不超过 $\frac{1}{2}$ 的概率是

19．设 $m$ 为正整数，数列 $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{4 m+2}$ 是公差不为 0 的等差数列，若从中删去两项 $a_{i}$ 和 $a_{j}(i<j)$ 后剩余的 $4 m$ 项可被平均分为 $m$ 组，且每组的 4 个数都能构成等差数列，则称数列 $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{4 m+2}$ 是 $(i, j)-$ 可分数列．
（1）写出所有的 $(i, j), 1 \leq i<j \leq 6$ ，使数列 $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{6}$ 是 $(i, j)-$ 可分数列；
（2）当 $m \geq 3$ 时，证明：数列 $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{4 m+2}$ 是 $(2,13)-$ 可分数列；
（3）从 $1,2, \ldots, 4 m+2$ 中一次任取两个数 i 和 $j(i<j)$ ，记数列 $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{4 m+2}$ 是 $(i, j)-$ 可分数列的概率为 $P_{m}$ ，证明：$P_{m}>\frac{1}{8}$ ．

5．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ）

18．为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续 40 天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用＂＋＂表示＂上涨＂，即当天价格比前一天价格高；用＂－＂表示＂下跌＂，即当天价格比前一天价格低；用＂ 0 ＂表示＂不变＂，即当天价格与前一天价格相同。

用频率估计概率．
（1）试估计该农产品价格＂上涨＂的概率；
（2）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取 4 天，试估计该农产品价格在这 4 天中 2 天＂上涨＂、 1 天＂下跌＂、 1 天＂不变＂的概率；
（3）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响。判断第 41 天该农产品价格＂上涨＂＂下跌＂和＂不变＂的概率估计值哪个最大。（结论不要求证明）

4．某校文艺部有 4 名学生，其中高一、高二年级各 2 名。从这 4 名学生中随机选 2 名组织校文艺汇演，则这 2 名学生来自不同年级的概率为（ ）

5．设 $O$ 为平面坐标系的坐标原点，在区域 $\left\{(x, y) \mid 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 4\right\}$ 内随机取一点，记该点为 $A$ ，则直线 $O A$ 的倾斜角不大于 $\frac{\pi}{4}$ 的概率为（ ）

7．设 $O$ 为平面坐标系的坐标原点，在区域 $\left\{(x, y) \mid 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 4\right\}$ 内随机取一点 $A$ ，则直线 $O A$ 的倾斜角不大于 $\frac{\pi}{4}$ 的概率为（ ）

9．某学校举办作文比赛，共 6 个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（）

13．从甲、乙等 5 名同学中随机选 3 名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 $\_\_\_\_$。

14．从甲、乙等 5 名同学中随机选 3 名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 $\_\_\_\_$。

15．现有 7 张卡片，分别写上数字 1，2，2，3，4，5，6．从这 7 张卡片中随机抽取 3 张，记所抽取卡片上数字的最小值为 $\xi$ ，则 $P(\xi=2)=$ $\_\_\_\_$ ，$E(\xi)=$ $\_\_\_\_$。

15．从正方体的 8 个顶点中任选 4 个，则这 4 个点在同一个平面的概率为 $\_\_\_\_$ ．

5．从 2 至 8 的 7 个整数中随机取 2 个不同的数，则这 2 个数互质的概率为（ ）

6．从分别写有 $1,2,3,4,5,6$ 的 6 张卡片中无放回随机抽取 2 张，则抽到的 2 张卡片上的数字之积是 4 的倍数的概率为

10．将 4 个 1 和 2 个 0 随机排成一行，则 2 个 0 不相邻的概率为（ ）

10．将 3 个 1 和 2 个 0 随机排成一行，则 2 个 0 不相邻的概率为

4．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷 2 次，观察向上的点数，则点数和为 5 的概率是 $\_\_\_\_$ ．

4．设 $O$ 为正方形 $A B C D$ 的中心，在 $O, A, B, C, D$ 中任取3点，则取到的3点共线的概率为（

17．（12 分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一。为了解某校学生上个月 $A, B$ 两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的 1000 名学生中随机抽取了 100 人，发现样本中 $A, B$ 两种支付方式都不使用的有 5人，样本中仅使用 $A$ 和仅使用 $B$ 的学生的支付金额分布情况如下：

（I）估计该校学生中上个月 $A, B$ 两种支付方式都使用的人数；
（II）从样本仅使用 $B$ 的学生中随机抽取 1 人，求该学生上个月支付金额大于 2000 元的概率；
（III）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用 $B$ 的学生中随机抽查 1 人，发现他本月的支付金额大于 2000 元。结合（II）的结果，能否认为样本仅使用 $B$ 的学生中本月支付金额大于 2000 元的人数有变化？说明理由．

3．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是

4．生物实验室有 5 只兔子，其中只有 3 只测量过某项指标，若从这 5 只兔子中随机取出 3 只，则恰有 2 只测量过该指标的概率为

6．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 A．

10．（5分）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 $A B C$ 的斜边 $B C$ ，直角边 $A B, A C$ －$\triangle A B C$ 的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III．在整个图形中随机取一点，此点取自 I，II，III的概率分别记为 $\mathrm{p}_{1}, \mathrm{p}_{2}, \mathrm{p}_{3}$ ，则（ ）

5．（5分）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（）

6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为
$\_\_\_\_$
Δ ．

8．（5分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果 ．哥德巴赫猜想是＂每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和＂，如 $30=7+23$ －在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是（

11．（5分）从分别写有1，2，3，4，5的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（

2．（5分）如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图。正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称。在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是

3．（5分）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫。从这 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔，则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为

4．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图。正方形内切圆

中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称。在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）

11．某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为 $\_\_\_\_$。

12．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在 2 次试验中成功次数 $X$ 的均值是

13．从 2、 3、 $8 , 9$ 任取两个不同的数值，分别记为 $a , b$ ，则 $\log _{a} b$ 为整数的概率 $=$ $\_\_\_\_$ ．

14．（5 分）（2016 • 山东）在 $[-1,1]$ 上随机地取一个数 k ，则事件＂直线 $\mathrm{y}=\mathrm{kx}$ 与圆（ $\mathrm{x}-5$ ） ${ }^{2}+y^{2}=9$ 相交＂发生的概率为 $\_\_\_\_$。

14．如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，$O$ 为正八边形 $A_{1} A_{2} \cdots A_{8}$ 的中心，$A_{1}(1,0)$ ．任取不同的两点 $A_{i}, A_{j}$ ，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{O P}+\overrightarrow{O A_{i}}+\overrightarrow{O A_{j}}=\overrightarrow{0}$ ，则点 $P$ 落在第一象限的概率是 $\_\_\_\_$

3．（5分）为美化环境，从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，余下的 2 种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（ ）

4．（5分）某公司的班车在7：00，8：00，8： 30 发车，小明在7：50至8： 30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是（ ）

5．（5分）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是 M ， $\mathrm{I}, \mathrm{N}$ 中的一个字母，第二位是 $1,2,3,4,5$ 中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（ ）

6．（5 分）从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人，则甲被选中的概率为（）

7．（5分）（2016•江苏）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有 $1,2,3,4,5$ ， 6 个点的正方体玩具）先后抛掷 2 次，则出现向上的点数之和小于 10 的概率是 $\_\_\_\_$ ．

12．设复数 $z=(x-1)+y i(x, y \in R)$ ，若 $|z| \leq 1$ ，则 $y \geq x$ 的概率（ ）

15．在区间 $[0,5]$ 上随机地选择一个数 p ，则方程 $x^{2}+2 p x+3 p-2=0$ 有两个负根的概率为 $\_\_\_\_$ ．

16．（13 分）A，B 两组各有 7 位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：

A 组：10，11，12，13，14，15， 16
B 组；12，13，15，16，17，14，a
假设所有病人的康复时间相互独立，从 A，B 两组随机各选 1 人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙。
（I）求甲的康复时间不少于 14 天的概率；
（II）如果 $a=25$ ，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
（III）当 a 为何值时， $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）

16．（本小题满分 12 分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有 2 个红球 $A_{1}, A_{2}$ 和 1 个白球 $B$ 的甲箱与装有 2 个红球 $a_{1}, a_{2}$ 和 2 个白球 $b_{1}, b_{2}$ 的乙箱中，各随机摸出 1个球，若摸出的 2 个球都是红球则中奖，否则不中奖。
（I）用球的标号列出所有可能的摸出结果；
（II）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由。

17．（13 分）某超市随机选取 1000 位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中＂ V ＂表示购买，＂$\times$＂表示未购买．

（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；
（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率；
（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？

18．（本题满分 12 分）
全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响了的综合指标。根据相关报道提供的全网传播 2015年某全国性大型活动的＂省级卫视新闻台＂融合指数的数据，对名列前 20 名的＂省级卫视新闻台＂的融合指数进行分组统计，结果如表所示。

（I）现从融合指数在 $[4,5)$ 和 $[7,8]$ 内的＂省级卫视新闻台＂中随机抽取 2 家进行调研，求至少有 1 家的融合指数在 $[7,8]$ 的概率；
（．II）根据分组统计表求这 20 家＂省级卫视新闻台＂的融合指数的平均数。

19．随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：

（I）在 4 月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；
（II）西安市某学校拟从 4 月份的一个晴天开始举行连续两天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．

4．（5分）如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3 个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取 3 个不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为（ ）

5．（5分）（2015•江苏）袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球、 1 只红球、 2 只黄球，从中一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不同的概率为 $\_\_\_\_$。

7．在区间 $[0,1]$ 上随机取两个数 $x, y$ ，记 $p_{1}$ 为事件＂$x+y \geq \frac{1}{2}$＂的概率，$p_{2}$ 为事件＂$|x-y| \leq \frac{1}{2}$＂的概率， $p_{3}$ 为事件＂$x y \leq \frac{1}{2}$＂的概率，则

7．（5分）
（2015 • 广东）
已知 5 件产品中有 2 件次品，其余为合格品．现从这 5 件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为

8．如图，矩形 $A B C D$ 中，点 $A$ 在 $x$ 轴上，点 $B$ 的坐标为 $(1,0)$ ．且点 $C$ 与点 $D$ 在函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x+1, x \geq 0 \\ -\frac{1}{2} x+1, x<0\end{array}\right.$ 的图像上．若在矩形 $A B C D$ 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率等于

8．在区间 $[0,1]$ 上随机取两个数 $x, y$ ，记 $p_{1}$ 为事件＂$x+y \leq \frac{1}{2}$＂的概率，$p_{2}$ 为事件＂$x y \leq \frac{1}{2}$＂的概率，则

12．从字母 $a, b, c, d, e$ 中任取两个不同字母，则取字母 $a$ 的概率为 $\_\_\_\_$ ．

13．（5分）将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行，则 2 本数学书相邻的概率为 $\_\_\_\_$ $\frac{2}{3}$。

13．若曲线 $y=e^{-x}$ 上点 $P$ 处的切线平行于直线 $2 x+y+1=0$ ，则点 $P$ 的坐标是 $\_\_\_\_$ ．

16．（本小题满分 12 分）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字 $1,2,3$，这三张卡片除标记的数字

外完全相同。随机有放回地抽取 3 次，每次抽取 1 张，将抽取的卡片上的数字依次记为 $a, ~ b, ~ c$．
（I）求＂抽取的卡片上的数字满足 $a+b=c$＂的概率；
（II）求＂抽取的卡片上的数字 $a, b, c$ 不完全相同＂的概率．

18．（本小题满分 12 分）
某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：

（I）根据表中数据，问是否有 $95 \%$ 的把握认为＂南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异＂； （II）已知在被调查的北方学生中有 5 名数学系的学生，其中 2 名喜欢甜品，现在从这 5 名学生中随机抽取 3 人，求至多有 1 人喜欢甜品的概率．

附：$\chi^{2}=\frac{n\left(n_{11} n_{22}-n_{12} n_{21}\right)^{2}}{n_{1+} n_{2+} n_{+1} n_{+2}}$ ，

19．（本小题满分 12 分）
某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：

（1）若每辆车的投保金额均为 2800 元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
（2）在样本车辆中，车主是新司机的占 $10 \%$ ，在赔付金额为 4000 元的样本车辆中，车主是新司机的占 $20 \%$ ，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为 4000 元的概率．

20．（（本小题满分 12 分）
根据世行 2013 年新标准，人均 GDP 低于 1035 美元为低收入国家；人均 GDP 为 1035－4085 元为中等偏下收入国家；人均 GDP 为4085－12616美元为中等偏上收入国家；人均 GDP 不低于 12616 美元为高收入国家。某城市有 5 个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均 GDP 如下表：

（1）判断该城市。人均 GDP 是否达到中等偏上收入国家标准；
（2）现从该城市 5 个行政区中随机抽取 2 个，求抽到的 2 个行政区人均 GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率．

21．（本小题满分 14 分）
将连续正整数 $1,2, \cdots, n\left(n \in N^{*}\right)$ 从小到大排列构成一个数 $123 \cdots n, F(n)$ 为这个数的位数（如 $n=12$ 时，此数为 123456789101112 ，共有 15 个数字，$f(12)=15$ ），现从这个数中随机取一个数字，$p(n)$ 为恰好取到 0 的概率．
（1）求 $p(100)$ ；
（2）当 $n \leq 2014$ 时，求 $F(n)$ 的表达式；
（3）令 $g(n)$ 为这个数中数字 0 的个数，$f(n)$ 为这个数中数字 9 的个数，$h(n)=f(n)-g(n)$ ， $S=\left\{n \mid h(n)=1, n \leq 100, n \in N^{*}\right\}$ ，求当 $n \in S$ 时 $p(n)$ 的最大值．

3．掷两颗均匀的骰子，则点数之和为 5 的概率等于

4．从 $1,2,3,6$ 这 4 个数中一次随机地取 2 个数，则所取 2 个数的乘积为 6 的概率是 $\_\_\_\_$ A ．

5．随机投掷两枚均匀的投骰子，他们向上的点数之和不超过 5 的概率为 $P_{1}$ ，点数之和大于 5 的概率为 $P_{2}$ ，点数之和为偶数的概率为 $P_{3}$ ，则

5．（5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为

6．若将一个质点随机投入如图所示的长方形 ABCD 中，其中 $\mathrm{AB}=2, \mathrm{BC}=1$ ，则质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率是

6．从正方形四 个顶点及其中心这 5 个点中，任取 2 个点，则这 2 个点的距离小于该正方形边长的概率为（）

6．从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中，任取 2 个点，则这 2 个点的距离不小于该正方形边长的概率为

13．（4分）从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是 $\_\_\_\_$

0.2

15．在区间 $[-2,4]$ 上随机地取一个数 $x$，若 $x$ 满足 $|x| \leq m$ 的概率为 $\frac{5}{6}$，
则 $m=$ $\_\_\_\_$．

16．（13分）如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图。空气质量指数小于 100 表示空气质量优良，空气质量指数大于 200 表示空气重度污染。某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该市，并停留 2 天。

（I）求此人到达当日空气质量优良的概率；
（II）求此人在该市停留期间只有 1 天空气重度污染的概率；
（III）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）

18、（本小题满分 12 分）
某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量 $x$ 在 $1,2,3, \cdots, 24$ 这 24 个整数中等可能随机产生。
（I）分别求出按程序框图正确编程运行时输出 $y$ 的值为 $i$ 的概率 $P_{i}(i=1,2,3)$；

（II）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行 $n$ 次后，统计记录了输出 $y$的值为 $i(i=1,2,3)$ 的频数。以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据。

当 $n=2100$ 时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出 $y$ 的值为 $i(i=1,2,3)$ 的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大。

3．（5分）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的 2 个数之差的绝对值为 2的概率是（ ）

5．如图，在矩形区域 ABCD 的 $\mathrm{A}, \mathrm{C}$ 两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域 ADE 和扇形区域 $\operatorname{CBF}$（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）。若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是

（5）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被

录用的概率为

8．盒子中装有编号为 $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ 的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是 $\_\_\_\_$ （结果用最简分数表示）

（10）袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的球，其中有 1 个红球， 2 个白球和 3 个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于

10．如图，在圆心角为直角的扇形 $O A B$ 中，分别以 $O A, O B$ 为直径作两个半圆。在扇形 $O A B$内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是

第 10 题图

2．（5 分）设不等式组 $\left\{\begin{array}{l}0 \leqslant x \leqslant 2 \\ 0 \leqslant y \leqslant 2\end{array}\right.$ ，表示的平面区域为 D，在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是

6．现有 10 个数，它们能构成一个以 1 为首项，-3 为公比的等比数列，若从这 10 个数中随机抽取一个数，则它小于 8的概率是 $\_\_\_\_$ ． ．

（第4题）

8．如图，在圆心角为直角的扇形 $O A B$ 中，分别以 $O A, O B$ 为直径作两个半圆。在扇形 $O A B$内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）

第8题图

10．（5分）（2011•陕西）甲乙两人一起去游＂2011西安世园会＂，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是（ ）

15．已知圆 $C: x^{2}+y^{2}=12$ ，直线 $l: 4 x+3 y=25$ ．
（1）圆 $C$ 的圆心到直线 $l$ 的距离为 $\_\_\_\_$。
（2）圆 $C$ 上任意一点 $A$ 到直线 $l$ 的距离小于 2 的概率为 $\_\_\_\_$ ．

4．（ 5 分）有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为

5．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是
$\_\_\_\_$ A。

6．（5分）有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（

8．（5分）（2011•浙江）从已有 3 个红球、 2 个白球的袋中任取 3 个球，则所取的 3 个球中至少有 1 个白球的概率是

（14）设函数 $y=f(x)$ 为区间 $[0,1]$ 上的图像是连续不断的一条曲线，且恒有 $0 \leq f(x) \leq 1$ ，可以用随机模拟方法近似计算由曲线 $y=f(x)$ 及直线 $x=0, x=1$ ，$y=0$ 所围成部分的面积 S ，先产生两组（每组 $N$ 个）区间 $[0,1]$ 上的均匀随机数 $x_{1}, x_{2} \ldots \ldots$ 和 $y_{1}, y_{2} \ldots y_{n}$ ，由此得到 N 个点 $\left(\mathrm{x}_{\mathrm{i}}, \mathrm{y}_{\mathrm{i}}\right)(i=1,2, \ldots, \mathrm{~N})$ 。再数出其中满足 $\mathrm{y}_{\mathrm{i}} \leq \mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{i}}\right)(i=1,2 \ldots \ldots N)$ 的点数 $N_{1}$ ，那么由随机模拟方法可得 S 的近似值为 $\_\_\_\_$

10．甲、乙、丙、丁 4 个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这 4个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为

11．电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一

时刻显示的四个数字之和为 23 的概率为

18．（12分）（2008 • 陕西）一个口袋中装有大小相同的 2 个红球， 3 个黑球和 4 个白球，从口袋中一次摸出一个球，摸出的球不再放回。
（I）连续摸球 2 次，求第一次摸出黑球，第二次摸出白球的概率；
（II）如果摸出红球，则停止摸球，求摸球次数不超过 3 次的概率。

6．（5分）从20名男同学， 10 名女同学中任选 3 名参加体能测试，则选到的 3 名同学中既有男同学又有女同学的概率为（ ）

7．（5分）（2008•山东）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为 $1,2,3, \ldots$ ， 18 的 18 名火炬手。若从中任选 3 人，则选出的火炬手的编号能组成以 3 为公差的等差数列的概率为

7． 4 张卡片上分别写有数字 $1,2,3,4$ ，从这 4 张卡片中随机抽取 2 张，则取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率为

8．（5 分）（ $2008 \bullet$ 四川）在一次读书活动中，一同学从 4 本不同的科技书和 2 本不同的文艺书中任选 3 本，则所选的书中既有科技书又有文艺书的概率为（）