2009 ??高考数学 2009_退役省自主命题 (2009·理) 第 19 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

19．（12分）（2009•陕西）某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示，椐统计，随机变量 $\xi$ 的概率分布如下：

| $\xi$ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| p | 0.1 | 0.32 a | a |  |

（I）求 a 的值和 $\xi$ 的数学期望；
（II）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉 2 次的概率。

Accepted Answer

【考点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式． 【专题】计算题． 【分析】①对于随机变量的所有可能的取值，其相应的概率之和都是 1 ，即 $\mathrm{P}_{1}+\mathrm{P}_{2}+\ldots=1$ －借此，我们可以求出 a 值，再利用数学期望的定义求解。 ②由题意得，该企业在这两个月内共被消费者投诉 2 次的事件分解成两个互斥事件之和 ，分别求出这两个事件的概率后相加即可。 【解答】解：①由概率分布的性质有 $0.1+0.3+2 a+a=1$ ，解得 $a=0.2$ ， $	herefore \xi$ 的概率分布为 | $\xi$ | 0 | 1 | 2 | 3 | | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | | P | 0.1 | 0.3 | 0.4 | 0.2 | $	herefore \mathrm{E} \xi=0 * 0.1+1 * 0.3+2 * 0.4+3 * 0.2=1.7$ ②设事件A表示＂两个月内共被投诉 2 次＂事件 $\mathrm{A}_{1}$ 表示＂两个月内有一个月被投诉 2 次，另外一个月被投诉 0 次＂； 事件 $\mathrm{A}_{2}$ 表示＂两个月内每月均被投诉1次＂ 则由事件的独立性得 $\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{1}ight)=\mathrm{C}_{2}{ }^{1} \mathrm{P}(\xi=2) \mathrm{P}(\xi=0)=2 * 0.4 * 0.1=0.08$ $\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{2}ight)=[\mathrm{P}(\xi=1)]^{2}=0.3^{2}=0.09$ $	herefore \mathrm{P}(\mathrm{A})=\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{1}ight)+\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{2}ight)=0.08+0.09=0.17$ 故该企业在这两个月内共被消费者投诉 2 次的概率为 0.17 【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望与方差，通常情况下，都是先求出随机变量取每个值时的概率、再得其分布列、最后用数学期望与方差的定义求解；求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化为彼此互斥的事件的和，利用概率加法公式计算互斥事件和的概率。

2009 高考数学第 19 题答案解析

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