（12分）（2009•陕西）某食品企业一个月内被消费者投诉…——2009 高考数学第 19 题答案解析

【考点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】计算题．
【分析】①对于随机变量的所有可能的取值，其相应的概率之和都是 1 ，即 $\mathrm{P}_{1}+\mathrm{P}_{2}+\ldots=1$ －借此，我们可以求出 a 值，再利用数学期望的定义求解。
②由题意得，该企业在这两个月内共被消费者投诉 2 次的事件分解成两个互斥事件之和 ，分别求出这两个事件的概率后相加即可。
【解答】解：①由概率分布的性质有 $0.1+0.3+2 a+a=1$ ，解得 $a=0.2$ ，
$\therefore \xi$ 的概率分布为

$\therefore \mathrm{E} \xi=0 * 0.1+1 * 0.3+2 * 0.4+3 * 0.2=1.7$
②设事件A表示＂两个月内共被投诉 2 次＂事件 $\mathrm{A}_{1}$ 表示＂两个月内有一个月被投诉 2 次，另外一个月被投诉 0 次＂；
事件 $\mathrm{A}_{2}$ 表示＂两个月内每月均被投诉1次＂
则由事件的独立性得
$\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{1}\right)=\mathrm{C}_{2}{ }^{1} \mathrm{P}(\xi=2) \mathrm{P}(\xi=0)=2 * 0.4 * 0.1=0.08$
$\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{2}\right)=[\mathrm{P}(\xi=1)]^{2}=0.3^{2}=0.09$
$\therefore \mathrm{P}(\mathrm{A})=\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{1}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{2}\right)=0.08+0.09=0.17$
故该企业在这两个月内共被消费者投诉 2 次的概率为 0.17
【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望与方差，通常情况下，都是先求出随机变量取每个值时的概率、再得其分布列、最后用数学期望与方差的定义求解；求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化为彼此互斥的事件的和，利用概率加法公式计算互斥事件和的概率。