（本小题满分 12 分） 甲、乙两支球队进行比赛，约定先胜…——2013 高考数学第 19 题答案解析

【解答】
（12分）（2013．山东）甲乙两支排球队进行比赛，先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是 $\frac{1}{2}$ ，其余每局比赛甲队获胜的概率都是 $\frac{2}{3}$ ．设各局比赛结果相互独立．
①分别求甲队3： $0,3: 1,3: 2$ 胜利的概率；
②若比赛结果3： 0 或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分，对方得 1 分，求乙队得分 $X$ 的分布列及数学期望。

考点：离散型随机变量的期望与方差．
专题：概率与统计。
分析：①甲队获胜有三种情形，①3： 0 ，② 3 ： 1 ，③ 3 ： 2 ，其每种情形的最后一局肯定是甲队胜，分别求出相应的概率，最后根据互斥事件的概率公式求出甲队获得这次比赛胜利的概率；
②$X$ 的取值可能为 $0,1,2,3$ ，然后利用相互独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式解之即可。
解答：解：（1）甲队获胜有三种情形，其每种情形的最后一局肯定是甲队胜
（1）3： 0 ，概率为 $\mathrm{P}_{1}=\left(\frac{2}{3}\right)^{3}=\frac{8}{27}$ ；
（2）3： 1 ，概率为 $\mathrm{P}_{2}=\mathrm{C} \frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^{2} \times\left(1-\frac{2}{3}\right) \times \frac{2}{3}=\frac{8}{27}$ ；
③3：2，概率为 $\mathrm{P}_{3}=\mathrm{C}_{4} \frac{2}{4}\left(\frac{2}{3}\right)^{2} \times\left(1-\frac{2}{3}\right)^{2} \times \frac{1}{2}=\frac{4}{27}$
∴ 甲队3：0，3：1，3：2胜利的概率：$\frac{8}{27}, \frac{8}{27}, \frac{4}{27}$ ．
（2）乙队得分 $X$ ，则 $X$ 的取值可能为 $0,1,2,3$ ．
由①知 $\mathrm{P}(\mathrm{X}=0)=\mathrm{P}_{1}+\mathrm{P}_{2}=\frac{16}{27}$ ；
$P(X=1)=P_{3}=\frac{4}{27}$ ；
$P(X=2)=C_{4}^{2}\left(1-\frac{2}{3}\right){ }^{2} \times\left(\frac{2}{3}\right){ }^{2} \times \frac{1}{2}=\frac{4}{27}$ ；
$P(X=3)=\left(1-\frac{2}{3}\right){ }^{3}+C \frac{1}{3}\left(1-\frac{2}{3}\right){ }^{2} \times\left(\frac{2}{3}\right) \times \frac{1}{3}=\frac{1}{9} ;$
则X的分布列为

$E(X)=3 \times \frac{1}{9}+2 \times \frac{4}{27}+1 \times \frac{4}{27}+0 \times \frac{16}{27}=\frac{7}{9}$ ．
点评：本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式，以及离散型随机变量的期望与分布列，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题。