（本小题满分 12 分）设某校新、老校区之间开车单程所需时…——2015 高考数学第 19 题答案解析

【答案】（I）分布列见解析，32；（II）0．91．

## 【解析】

试题分析：（I）先算出 T 的频率分布，进而可得 T 的分布列，再利用数学期望公式可得数学期望 ET；（II）先设事件 A 表示＂刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过 120 分钟＂，再算出 A 的概率。

试题解析：（I）由统计结果可得 T 的频率分步为

以频率估计概率得 T 的分布列为

从而 $E T=25 \times 0.2+30 \times 0.3+35 \times 0.4+40 \times 0.1=32$（分钟）
（II）设 $T_{1}, T_{2}$ 分别表示往、返所需时间，$T_{1}, T_{2}$ 的取值相互独立，且与 T 的分布列相同．设事件 A 表示＂刘教授共用时间不超过 120 分钟＂，由于讲座时间为 50 分钟，所以事件 A 对应于＂刘教授在途中的时间不超过 70 分钟＂。

解法一：$P(\mathrm{~A})=\mathrm{P}\left(T_{1}+T_{2} \leq 70\right)=\mathrm{P}\left(T_{1}=25, T_{2} \leq 45\right)+\mathrm{P}\left(T_{1}=30, T_{2} \leq 40\right)$

$$ +\mathrm{P}\left(T_{1}=35, T_{2} \leq 35\right)+\mathrm{P}\left(T_{1}=40, T_{2} \leq 30\right)=1 \times 0.2+1 \times 0.3+0.9 \times 0.4+0.5 \times 0.1=0.91 . $$

解法二：$P(\overline{\mathrm{~A}})=\mathrm{P}\left(T_{1}+T_{2}>70\right)=\mathrm{P}\left(T_{1}=35, T_{2}=40\right)+\mathrm{P}\left(T_{1}=40, T_{2}=35\right)+\mathrm{P}\left(T_{1}=40, T_{2}=40\right)$

$$ =0.4 \times 0.1+0.1 \times 0.4+0.1 \times 0.1=0.09 $$

故 $P(\mathrm{~A})=1-\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}})=0.91$．
考点：1、离散型随机变量的分布列与数学期望；2、独立事件的概率．
【名师点晴】本题主要考查的是离散型随机变量的分布列与数学期望和独立事件的概率，属于中档题。解题时一定要抓住重要字眼＂不超过＂，否则很容易出现错误。解离散型随机变量的分布列的试题时一定要万分小心，特别是列举随机变量取值的概率时，要注意按顺序列举，做到不重不漏，防止出现错误．