（本小题满分 12 分） 在一场娱乐晚会上，有 5 位民间…——2013 高考数学第 19 题答案解析

【答案】：（I）由于观众甲必选 1，不选 2，则观众甲选中 3 号歌手的概率为 $\frac{C_{1}^{1} \cdot C_{2}^{1}}{C_{3}^{2}}=\frac{2}{3}$，观众乙未选中 3 号歌手的概率为 $\frac{C_{4}^{3}}{C_{5}^{3}}=\frac{2}{5}$，甲乙选票彼此独立，故兄众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3号歌手的概率为 $\frac{2}{3} \times \frac{2}{5}=\frac{4}{15}$．
（II） X 的所有可能取值为 $0,1,2,3$．由（I）知，观众甲选中 3 号歌手的概率为 $\frac{2}{3}$，观众乙选中 3 号歌手的概率为 $1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$，则观众丙选中 3 号歌于的概率也为 $1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$，则

$$ \begin{aligned} & P(X=0)=\left(1-\frac{2}{3}\right) \times\left(1-\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{4}{75}, P(X=1)=\frac{2}{3} \times\left(1-\frac{3}{5}\right)^{2}+\left(1-\frac{2}{3}\right) \times C_{2}^{1} \times \frac{3}{5} \times\left(1-\frac{3}{5}\right)=\frac{20}{75}=\frac{4}{15} \\ & P(X=2)=\frac{2}{3} \times C_{2}^{1} \times \frac{3}{5} \times\left(1-\frac{3}{5}\right)+\left(1-\frac{2}{3}\right) \times\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{33}{75}=\frac{11}{25}, P(X=3)=\frac{2}{3} \times\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{18}{75}=\frac{6}{25} \end{aligned} $$

则 X 的分布列如下：

$E X=0 \times \frac{4}{75}+1 \times \frac{4}{15}+2 \times \frac{11}{25}+3 \times \frac{6}{25}=\frac{28}{15}$.
【解析】：本题考查涉及排列组合、概率、随机变量分布列和期望问题，（I）问中考查了＂观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手＂互斥事件同时发生的概率，也可以利用树形图解决。（II）问中要注意分布列性质运用，验证概率总合是否为 1. 此类问题任高考中属于常考重点题型，必须熟练掌握．

【考点定位】本题考查排列组合、概率、随机变量分布列和期望问题．属于中档题．