某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每…——2015 高考数学第 18 题答案解析

## 【解析】

试题分析：（1）记事件 $A_{1}=\{$ 从甲箱中摸出的 1 个球是红球 $\}, A_{2}=\{$ 从乙箱中摸出的 1 个球是红球 $\} B_{1}=\{$ 顾客抽奖 1 次获一等奖 $\}, B_{2}=\{$ 顾客抽奖 1 次获二等奖 $\}, C=\{$ 顾客抽奖 1 次能获奖 $\}$ ，则可知 $A_{1}$

与 $A_{2}$ 相互独立，$A_{1} \overline{A_{2}}$ 与 $\overline{A_{1}} A_{2}$ 互斥，$B_{1}$ 与 $B_{2}$ 互斥，且 $B_{1}=A_{1} A_{2}, B_{2}=A_{1} \overline{A_{2}}+\overline{A_{1}} A_{2}, C=B_{1}+B_{2}$ ，再
利用概率的加法公式即可求解；（2）分析题意可知 $X \sim B\left(3, \frac{1}{5}\right)$ ，分别求得 $P(X=0)=C_{3}^{0}\left(\frac{1}{5}\right)^{0}\left(\frac{4}{5}\right)^{3}=\frac{64}{125}$ ， $P(X=1)=C_{3}^{1}\left(\frac{1}{5}\right)^{1}\left(\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{48}{125}, \quad P(X=2)=C_{3}^{2}\left(\frac{1}{5}\right)^{2}\left(\frac{4}{5}\right)^{1}=\frac{12}{125}, \quad P(X=3)=C_{3}^{3}\left(\frac{1}{5}\right)^{3}\left(\frac{4}{5}\right)^{0}=\frac{1}{125}$ ，即可知 $X$ 的概率分布及其期望。

试题解析：（1）记事件 $A_{1}=\{$ 从甲箱中摸出的 1 个球是红球 $\}, A_{2}=\{$ 从乙箱中摸出的 1 个球是红球 $\} B_{1}=\{$ 顾客抽奖 1 次获一等奖 $\}, B_{2}=\{$ 顾客抽奖 1 次获二等奖 $\}, C=\{$ 顾客抽奖 1 次能获奖 $\}$ ，由题意， $A_{1}$ 与 $A_{2}$ 相互独立，$A_{1} \overline{A_{2}}$ 与 $\overline{A_{1}} A_{2}$ 互斥，$B_{1}$ 与 $B_{2}$ 互斥，且 $B_{1}=A_{1} A_{2}, B_{2}=A_{1} \overline{A_{2}}+\overline{A_{1}} A_{2}, C=B_{1}+B_{2}$ ， $\because P\left(A_{1}\right)=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}, \quad P\left(A_{2}\right)=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}, \quad \therefore P\left(B_{1}\right)=P\left(A_{1} A_{2}\right)=P\left(A_{1}\right) P\left(A_{2}\right)=\frac{2}{5} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{5}$, $P\left(B_{2}\right)=P\left(A_{1} \overline{A_{2}}+\overline{A_{1}} A_{2}\right)=P\left(A_{1} \overline{A_{2}}\right)+P\left(\overline{A_{1}} A_{2}\right)=P\left(A_{1}\right)\left(1-P\left(A_{2}\right)\right)+\left(1-P\left(A_{1}\right)\right) P\left(A_{2}\right)$
$=\frac{2}{5} \times\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(1-\frac{2}{5}\right) \times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ ，故所求概率为 $P(C)=P\left(B_{1}+B_{2}\right)=P\left(B_{1}\right)+P\left(B_{2}\right)=\frac{1}{5}+\frac{1}{2}=\frac{7}{10}$ ；（2）顾客抽奖 3 次独立重复试验，由①知，顾客抽奖 1 次获一等奖的概率为 $\frac{1}{5}, \therefore X \sim B\left(3, \frac{1}{5}\right)$ ，于是 $P(X=0)=C_{3}^{0}\left(\frac{1}{5}\right)^{0}\left(\frac{4}{5}\right)^{3}=\frac{64}{125}, P(X=1)=C_{3}^{1}\left(\frac{1}{5}\right)^{1}\left(\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{48}{125}, P(X=2)=C_{3}^{2}\left(\frac{1}{5}\right)^{2}\left(\frac{4}{5}\right)^{1}=\frac{12}{125}$ ， $P(X=3)=C_{3}^{3}\left(\frac{1}{5}\right)^{3}\left(\frac{4}{5}\right)^{0}=\frac{1}{125}$ ，故 $X$ 的分布列为

$X$ 的数学期望为 $E(X)=3 \times \frac{1}{5}=\frac{3}{5}$ ．
【考点定位】1．概率的加法公式；2．离散型随机变量的概率分布与期望．
【名师点睛】本题主要考查了离散型随机变量的概率分布与期望以及概率统计在生活中的实际应用，这一直都是高考命题的热点，试题的背景由传统的摸球，骰子问题向现实生活中的热点问题转化，并且与统计的联系越来越密切，与统计中的抽样，频率分布直方图等基础知识综合的试题逐渐增多，在复习时应予以关注．

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