【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；51：概率与统计．
【分析】①求出 $f(p)=c_{20}^{2} p^{2}(1-p)^{18}$ ，则 $f^{\prime}(p)=C_{20}^{2}\left[2 p(1-p)^{18}-18 p^{2}(1-p)^{17}\right]=2 C_{20}^{2} p(1-p)^{17}(1-10 p)$ ，利用导数性质能求出 $f(p)$ 的最大值点 $p_{0}=0.1$ ．
②（i）由 $\mathrm{p}=0.1$ ，令 Y 表示余下的 180 件产品中的不合格品数，依题意知 $\mathrm{Y} \sim \mathrm{B}$ （180，0．1），再由 $X=20 \times 2+25 Y$ ，即 $X=40+25 Y$ ，能求出 $E ~(X)$ 。
（ii）如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为 400 元，E（X
$=490>400$ ，从而应该对余下的产品进行检验．
【解答】解：①记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 $f(p)$ ，则 $f(p)=C_{20}^{2} p^{2}(1-p)^{18}$ ， $\therefore f^{\prime}(p)=C_{20}^{2}\left[2 p(1-p)^{18}-18 p^{2}(1-p)^{17}\right]=2 C_{20}^{2} p(1-p)^{17}(1-10 p)$ ，令 $f^{\prime}(p)=0$ ，得 $p=0.1$ ，当 $p \in(0,0.1)$ 时，$f^{\prime}(p)>0$ ，当 $p \in(0.1,1)$ 时，$f^{\prime}(p)<0$ ， $\therefore f(p)$ 的最大值点 $p_{0}=0.1$ ．
②（i）由①知 $\mathrm{p}=0.1$ ，令 $Y$ 表示余下的 180 件产品中的不合格品数，依题意知 $Y \sim B(180,0.1)$ ， $X=20 \times 2+25 Y$ ，即 $X=40+25 Y$ ， $\therefore E(X)=E(40+25 Y)=40+25 E(Y)=40+25 \times 180 \times 0.1=490$ ．
（ii）如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为 400 元， $\because E(X)=490>400$ ，
∴ 应该对余下的产品进行检验．
【点评】本题考查概率的求法及应用，考查离散型随机变量的数学期望的求法 ，考查是否该对这箱余下的所有产品作检验的判断与求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．