某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体…——2024 高考数学第 18 题答案解析

【答案】① 0.686
②（i）由甲参加第一阶段比赛；（i）由甲参加第一阶段比赛；

## 【解析】

【分析】①根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案；
②（i）首先各自计算出 $P_{\text {甲 }}=\left[1-(1-p)^{3}\right] q^{3}, ~ P_{\text {乙 }}=\left[1-(1-q)^{3}\right] \cdot p^{3}$ ，再作差因式分解即可判断；（ii）首先得到 $X$ 和 $Y$ 的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差比较大小即可。

## 【小问 1 详解】

甲、乙所在队的比赛成绩不少于 5 分，则甲第一阶段至少投中 1 次，乙第二阶段也至少投中 1 次，
∴ 比赛成绩不少于 5 分的概率 $P=\left(1-0.6^{3}\right)\left(1-0.5^{3}\right)=0.686$ ．

## 【小问 2 详解】

（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为 15 分的概率为 $P_{\text {甲 }}=\left[1-(1-p)^{3}\right] q^{3}$ ，

若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为 15 分的概率为 $P_{乙}=\left[1-(1-q)^{3}\right] \cdot p^{3}$ ，
$\because 0$\therefore P_{\text {甲 }}-P_{\text {乙 }}=q^{3}-(q-p q)^{3}-p^{3}+(p-p q)^{3}$
$=(q-p)\left(q^{2}+p q+p^{2}\right)+(p-q) \cdot\left[(p-p q)^{2}+(q-p q)^{2}+(p-p q)(q-p q)\right]$
$=(p-q)\left(3 p^{2} q^{2}-3 p^{2} q-3 p q^{2}\right)$
$=3 p q(p-q)(p q-p-q)=3 p q(p-q)[(1-p)(1-q)-1]>0$,
$\therefore P_{\text {甲 }}>P_{\text {乙 }}$ ，应该由甲参加第一阶段比赛．
（ii）若甲先参加第一阶段比赛，数学成绩 $X$ 的所有可能取值为 $0,5,10,15$ ，
$P(X=0)=(1-p)^{3}+\left[1-(1-p)^{3}\right] \cdot(1-q)^{3}$,
$P(X=5)=\left[1-(1-p)^{3}\right] \mathrm{C}_{3}^{1} q \cdot(1-q)^{2}$,
$P(X=10)=\left[1-(1-p)^{3}\right] \cdot \mathrm{C}_{3}^{2} q^{2}(1-q)$,
$P(X=15)=\left[1-(1-p)^{3}\right] \cdot q^{3}$,
$\therefore E(X)=15\left[1-(1-p)^{3}\right] q=15\left(p^{3}-3 p^{2}+3 p\right) \cdot q$
记乙先参加第一阶段比赛，数学成绩 $Y$ 的所有可能取值为 $0,5,10,15$ ，
同理 $E(Y)=15\left(q^{3}-3 q^{2}+3 q\right) \cdot p$
$\therefore E(X)-E(Y)=15[p q(p+q)(p-q)-3 p q(p-q)]$
$=15(p-q) p q(p+q-3)$,

因为 $0

则 $(p-q) p q(p+q-3)>0$ ，
∴ 应该由甲参加第一阶段比赛．
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出相关概率和期望，采用作差法并因式分解从而比较出大小关系，最后得到结论．