（12 分）（2008－山东）甲、乙两队参加奥运知识竞赛，…——2008 高考数学第 17 题答案解析

【解答】
（12 分）（ $2008 \cdot$ 山东）甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队 3 人，每人回答一个问题，答对者对本队赢得一分，答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，乙队中 3 人答对的概率分别为 $\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{2}$ ，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用 $\xi$ 表示甲队的总得分．

（I）求随机变量 $\xi$ 的分布列和数学期望；
（II）用 A 表示＂甲、乙两个队总得分之和等于 3 ＂这一事件，用 B 表示＂甲队总得分大于乙队总得分＂这一事件，求 $\mathrm{P}(\mathrm{AB})$ 。
【分析】①由题意甲队中每人答对的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，故可看作独立重复试验，故 $\xi \sim \mathrm{B}\left(3, \frac{2}{3}\right), \mathrm{E} \xi=3 \times \frac{2}{3}=2$
② AB 为＂甲、乙两个队总得分之和等于 3 ＂和＂甲队总得分大于乙队总得分＂同时满足，有两种情况：＂甲得（2分）乙得（1分）＂和＂甲得（3分）乙得 0 分＂这两个事件互斥，分别求概率，再取和即可。
【解答】解：（I ）解法一：由题意知，$\xi$ 的可能取值为 $0,1,2,3$ ，且
$P(\xi=0)=C_{3}^{0} \times\left(1-\frac{2}{3}\right)^{3}=\frac{1}{27}, P(\xi=1)=C_{3}^{1} \times \frac{2}{3} \times\left(1-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{2}{9}$ ，
$P(\xi=2)=c_{3}^{2} \times\left(\frac{2}{3}\right)^{2} \times\left(1-\frac{2}{3}\right)=\frac{4}{9}, P(\xi=3)=c_{3}^{3} \times\left(\frac{2}{3}\right)^{3}=\frac{8}{27}$ ．
所以 $\xi$ 的分布列为

$\xi$ 的数学期望为 $\mathrm{E} \xi=0 \times \frac{1}{27}+1 \times \frac{2}{9}+2 \times \frac{4}{9}+3 \times \frac{8}{27}=2$ ．
解法二：根据题设可知，$\xi \sim \mathrm{B}\left(3, \frac{2}{3}\right)$ ，
因此 $\xi$ 的分布列为 $P(\xi=k)=C_{3}^{k} \times\left(\frac{2}{3}\right)^{k} \times\left(1-\frac{2}{3}\right)^{3-k}=C_{3}^{k} \times \frac{2^{k}}{3^{3}}, k=0,1,2$ ，
3.

因为 $\xi \sim \mathrm{B}\left(3, \frac{2}{3}\right)$ ，所以 $\mathrm{E} \xi=3 \times \frac{2}{3}=2$ ．
（II）解法一：用 C 表示＂甲得（2 分）乙得（1 分）＂这一事件，用 D 表示＂甲得（3 分）乙得 0 分＂这一事件，所以 $A B=C U D$ ，且 $C$ ，$D$ 互斥，又
$P(C)=C_{3}^{2} \times\left(\frac{2}{3}\right)^{2} \times\left(1-\frac{2}{3}\right) \times\left[\frac{2}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}+\frac{1}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{2}+\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}\right]=\frac{10}{3^{4}}$ ，
P（D）＝$C_{3}^{3} \times\left(\frac{2}{3}\right)^{3} \times\left(\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}\right)=\frac{4}{3^{5}}$ ，
由互斥事件的概率公式得 $P(A B)=P(C)+P(D)=\frac{10}{3^{4}}+\frac{4}{3^{5}}=\frac{34}{3^{5}}=\frac{34}{243}$ ．
解法二：用 $\mathrm{A}_{\mathrm{k}}$ 表示＂甲队得 k 分＂这一事件，用 $\mathrm{B}_{\mathrm{k}}$ 表示＂乙队得 k 分＂这一事件， $\mathrm{k}=0,1,2$ ， 3 。
由于事件 $\mathrm{A}_{3} \mathrm{~B}_{0}, \mathrm{~A}_{2} \mathrm{~B}_{1}$ 为互斥事件，故有 $\mathrm{P}(\mathrm{AB})=\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{3} \mathrm{~B}_{0} \mathrm{UA}_{2} \mathrm{~B}_{1}\right)=\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{3} \mathrm{~B}_{0}\right)+\mathrm{P} \left(\mathrm{A}_{2} \mathrm{~B}_{1}\right)$ 。

由题设可知，事件 $\mathrm{A}_{3}$ 与 $\mathrm{B}_{0}$ 独立，事件 $\mathrm{A}_{2}$ 与 $\mathrm{B}_{1}$ 独立，因此 $\mathrm{P}(\mathrm{AB})=\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{3} \mathrm{~B}_{0}\right)+\mathrm{P} \left(\mathrm{A}_{2} \mathrm{~B}_{1}\right)=\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{3}\right) \mathrm{P}\left(\mathrm{B}_{0}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{2}\right) \mathrm{P}\left(\mathrm{B}_{1}\right)=$

$$ \left(\frac{2}{3}\right)^{3} \times\left(\frac{1}{3^{2}} \times \frac{1}{2}\right)+C_{3}^{2} \times \frac{2^{2}}{3^{2}} \times \frac{1}{3}\left(\frac{1}{2} \times \frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{2} \times C_{2}^{1} \times \frac{2}{3^{2}}\right)=\frac{34}{243} . $$