二项分布及其应用　·　历年高考数学真题与解析

18．某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮 3 次，若 3 次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为 0 分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮 3 次，每次投中得 5 分，未投中得 0 分．该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为 $p$ ，乙每次投中的概率为 $q$ ，各次投中与否相互独立．
（1）若 $p=0.4, q=0.5$ ，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于 5 分的概率．
（2）假设 $0（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为 15 分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
（ii）为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

12．在信道内传输 0,1 信号，信号的传输相互独立．发送 0 时，收到 1 的概率为 $\alpha(0<\alpha<1)$ ，收到 0 的概率为 $1-\alpha$ ；发送 1 时，收到 0 的概率为 $\beta(0<\beta<1)$ ，收到 1 的概率为 $1-\beta$ ．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输。单次传输是指每个信号只发送 1 次，三次传输是指每个信号重复发送 3 次。收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到 $1,0,1$ ，则译码为 1 ）。

18．为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续 40 天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用＂＋＂表示＂上涨＂，即当天价格比前一天价格高；用＂－＂表示＂下跌＂，即当天价格比前一天价格低；用＂ 0 ＂表示＂不变＂，即当天价格与前一天价格相同。

用频率估计概率．
（1）试估计该农产品价格＂上涨＂的概率；
（2）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取 4 天，试估计该农产品价格在这 4 天中 2 天＂上涨＂、 1 天＂下跌＂、 1 天＂不变＂的概率；
（3）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响。判断第 41 天该农产品价格＂上涨＂＂下跌＂和＂不变＂的概率估计值哪个最大。（结论不要求证明）

14.

甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为 $\frac{5}{6}$ 和 $\frac{1}{5}$ ，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为 $\_\_\_\_$ ， 3 次活动中，甲至少获胜 2 次的概率为 $\_\_\_\_$。

20．（12分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为 $\mathrm{p}(0<\mathrm{p}<1)$ ，且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 $f(p)$ ，求 $f$ （p）的最大值点 $\mathrm{p}_{0}$ 。
（2）现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以（1）中确定的 $\mathrm{p}_{0}$ 作为 p 的值．已知每件产品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用。
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求 $E X$ ；
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

8．（5分）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p ，各成员的支付方式相互独立．设 X 为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数， $\mathrm{DX}=2.4, \mathrm{P}(\mathrm{x}=$ 4）$

18．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有 4 个红球、 6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、 5 个白球的乙箱中，各随机摸出 1 个球，在摸出的 2 个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有 1 个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．
（1）求顾客抽奖 1 次能获奖的概率；
（2）若某顾客有 3 次抽奖机会，记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望．【答案】①$\frac{7}{10}$ ；（2）详见解析。

4．（5分）投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6 ，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）

17．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得 10 分，出现两次音乐获得 20 分，出现三次音乐获得 100 分，没有出现音乐则扣除 200 分（即获得 -200 分）。设每次击鼓出现音乐的概率为 $\frac{1}{2}$，且各次击鼓出现音乐相互独立．
（1）设每盘游戏获得的分数为 $X$，求 $X$ 的分布列；
（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少。的原因。

17．（本小题满分 13 分）随机观测生产某种零件的某工厂 25 名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下： $30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36$ ，根据上述数据得到样本的频率分布表如下：

（1）确定样本频率分布表中 $n_{1}, n_{2}, f_{1}$ 和 $f_{2}$ 的值；
（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取 4 人，至少有 1 人的日加工零件数落在区间（ 30,35 ］的概率。

18．（本小题满 $=$ 分 12 分）
一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：

将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
（1）求在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另一天的日销售量低于 50 个的概率；
（2）用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个的天数，求随机变量 X 的分布列，期望 $E(X)$ 及方差 $D(X)$．

19．（本小题满分 12 分）
在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为 1000 元，此作物的市场价格和这块地上
的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：

（1）设 $X$ 表示在这块地上种植 1 季此作物的利润，求 $X$ 的分布列；
（2）若在这块地上连续 3 季种植此作物，求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元的概率．

20．（本小题满分 12 分）

计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站，过去 50 年的水文资料显示，水库年入流量 $X$（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米）都在 40 以上．其中，不足 80 的年份有 10 年，不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年，超过 120 的年份有 5 年。将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．
（1）求未来 4 年中，至多 1 年的年入流量超过 120 的概率；
（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量 $X$ 限制，并有如下关系：

若某台发电机运行，则该台年利润为 5000 万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损 800 万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？

16．（本小题满分 13 分）
某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为 $\frac{2}{3}$，中奖可以获得 2 分；方案乙的中奖率为 $\frac{2}{5}$，中奖可以获得 3 分；未中奖则不得分。每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品。
（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为 $X$，求 $X \leq 3$ 的概率；
（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？

18．（本小题满分 12 分）
某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量 $x$ 在 $1,2,3, \cdots, 24$ 这 24 个整数中等可能随机产生．
（I）分别求出按程序框图正确编程运行时输出 $y$ 的值为 $i$ 的概率 $P_{i}(i=1,2,3)$；

（II）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行 $n$ 次后，统计记录了输出 $y$ 的值为 $i(i=1,2,3)$ 的频数。以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据。

甲的频数统计表（部分）

乙的频数统计表（部分）

当 $n=2100$ 时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出 $y$ 的值为 $i(i=1,2,3)$ 的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大；
（III）按程序框图正确编写的程序运行 3 次，求输出 $y$ 的值为 2 的次数 $\xi$ 的分布列及数学期望。

19．（12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这 4 件产品中优质品的件数记为 n ．如果 $\mathrm{n}=3$ ，再从这批产品中任取 4 件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果 $\mathrm{n}=4$ ，再从这批产品中任取 1 件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。假设这批产品的优质品率为 $50 \%$ ，即取出的产品是优质品的概率都为 $\frac{1}{2}$ ，且各件产品是否为优质品相互独立．
（I）求这批产品通过检验的概率；
（II）已知每件产品检验费用为 100 元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望。

20．（12分）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，对方比分在 10 平前，一方连续发球 2 次后，对方再连续发球两次，依次轮换。每次发球，胜方得 1 分，负方得 0 分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得 1 分的概率为 0.6 ，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．
（1）求开始第 4 次发球时，甲、乙的比分为 1 ： 2 的概率；
（2）求开始第 5 次发球时，甲领先得分的概率．

16．（本小题满分 13 分）
学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有 3 个白球、 2 个黑球，乙箱子里装有 1 个白球、 2 个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球，若摸出的白球不少于 2 个，则获奖。（每次游戏结束后将球放回原箱）
（I）求在 1 次游戏中，
（i）摸出 3 个白球的概率；
（ii）获奖的概率；
（II）求在 2 次游戏中获奖次数 $X$ 的分布列及数学期望 $E(X)$ ．

19．（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 0.5 ，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为 0.3 ，设各车主购买保险相互独立．
（I）求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率；
（II）求该地的 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率。

11．一位国王的铸币大臣在每箱 100 枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测。方法一：在 10 箱子中各任意抽查一枚；方

法二：在 5 箱中各任意抽查两枚。国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为 $p_{1}$和 $p_{2}$ ，则

（18）．（本小题满分 12 分）某射手每次射击击中目标的概率是 $\frac{2}{3}$ ，且各次射击的结果互不影响。
（I）假设这名射手射击 5 次，求恰有 2 次击中目标的概率
（II）假设这名射手射击 5 次，求有 3 次连续击中目标。另外 2 次未击中目标的概率；
（III）假设这名射手射击 3 次，每次射击，击中目标得 1 分，未击中目标得 0 分，在 3次射击中，若有 2 次连续击中，而另外 1 次未击中，则额外加 1 分；若 3 次全击中，则额外加 3 分，记 $\xi$ 为射手射击 3 次后的总的分数，求 $\xi$ 的分布列。

18．（12分）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审。若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用。设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 0.5 ，复审的稿件能通过评审的概率为 0.3 ．各专家独立评审．
（I）求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；
（II）求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率．

19．（12分）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用。设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 0.5 ，复审的稿件能通过评审的概率为 0.3 ．各专家独立评审．
（I）求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；
（II）求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率．

18．（本小题满分 12 分）
某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审。假设评审结果为＂支持＂或＂不支持＂的概率都是 $\frac{1}{2}$ 。若某人获得两个＂支持＂，则给予 10 万元的创业资助；若只获得一个＂支持＂，则给予 5 万元的资助；若未获得＂支持＂，则不予资助．求：
（1）该公司的资助总额为零的概率；
（2）该公司的资助总额超过 15 万元的概率．

19．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为 0.6 ，乙获胜的概率为 0.4 ，各局比赛结果相互独立，已知前 2 局中，甲、乙各胜 1 局．
（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；
（II）设 $\xi$ 表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数，求 $\xi$ 的分布列及数学期望

（19）（本小题满分 12 分）
某人向一目射击 4 次，每次击中目标的概率为 $\frac{1}{3}$ 。该目标分为 3 个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为 $1: 3: 6$ 。击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比。
（I）设X表示目标被击中的次数，求X的分布列；
（II）若目标被击中 2 次，$A$ 表示事件＂第一部分至少被击中 1 次或第二部分被击中 2 次 $"$ ，求 $P(A)$

18．（12 分）（2008－山东）甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队 3 人，每人回答一个问题，答对者对本队赢得一分，答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，乙队中 3 人答对的概率分别为 $\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{2}$ ，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用 $\xi$ 表示甲队的总得分．
（I）求随机变量 $\xi$ 的分布列和数学期望；
（II）用 A 表示＂甲、乙两个队总得分之和等于 3 ＂这一事件，用 B 表示＂甲队总得分大于乙队总得分＂这一事件，求 $\mathrm{P}(\mathrm{AB})$ 。

18．（12 分）（2008 • 四川）一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类：A 类、B 类、C类．检验员定时从该生产线上任取 2 件产品进行一次抽检，若发现其中含有 C 类产品或 2件都是 B 类产品，就需要调整设备，否则不需要调整。已知该生产线上生产的每件产品为 A类品， B 类品和 C 类品的概率分别为 $0.9,0.05$ 和 0.05 ，且各件产品的质量情况互不影响。
（I）求在一次抽检后，设备不需要调整的概率；
（II）若检验员一天抽检 3 次，以 $\xi$ 表示一天中需要调整设备的次数，求 $\xi$ 的分布列和数学期望。

（18）（本小题满分 12 分）
甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为 $\frac{1}{2}$ 与 $p$ ，且乙投球 2 次均未命中的概率为 $\frac{1}{16}$ ．
（I）求乙投球的命中率 $p$ ；
（II）求甲投球 2 次，至少命中 1 次的概率；
（III）若甲、乙两人各投球 2 次，求两人共命中 2 次的概率．

18．（12分）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费 a 元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得 10

000元的赔偿金。假定在一年度内有 10
000 人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立。已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金 10 000元的概率为1－0．999 $10^{4}$ ．
（I）求一投保人在一年度内出险的概率 p ；
（II）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000 元，为保证盈利的期望不小于 0 ，求每位投保人应交纳的最低保费（单位 ：元）。

18．（ 12 分）（ $2008 \cdot$ 四川）设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为 0.5 ，购买乙种商品的概率为 0.6 ，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的。
（I）求进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
（II）求进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
（III）记 $\xi$ 表示进入商场的 3 位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求 $\xi$ 的分布列及期望。

19．（12分）甲、乙两人进行射击比赛，在一轮比赛中，甲、乙各射击一发子弹．根据以往资料知，甲击中 8 环， 9 环， 10 环的概率分别为 $0.6,0.3,0.1$ ，乙击中 8 环， 9 环， 10 环的概率分别为 $0.4,0.4,0.2$ ．

设甲、乙的射击相互独立．
（I）求在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中环数的概率；
（II）求在独立的三轮比赛中，至少有两轮甲击中的环数多于乙击中环数的概率。