（10分）如图， AB 是 O 的直径， AC 是 O 的…——2015 高考数学第 22 题答案解析

【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明．
【专题】5B：直线与圆．
【分析】（ I ）连接 $A E$ 和 $O E$ ，由三角形和圆的知识易得 $\angle O E D=90^{\circ}$ ，可得 $D E$ 是 $\odot$ O 的切线；
（II）设 $C E=1, A E=x$ ，由射影定理可得关于 $x$ 的方程 $x^{2}=\sqrt{12-x^{2}}$ ，解方程可得 $x$ 值 ，可得所求角度．

【解答】解：（ I ）连接 $A E$ ，由已知得 $A E \perp B C, A C \perp A B$ ，
在 $\mathrm{RT} \triangle \mathrm{ABC}$ 中，由已知可得 $\mathrm{DE}=\mathrm{DC}, \therefore \angle \mathrm{DEC}=\angle \mathrm{DCE}$ ，
连接 $O E$ ，则 $\angle O B E=\angle O E B$ ，
又 $\angle \mathrm{ACB}+\angle \mathrm{ABC}=90^{\circ}, \therefore \angle \mathrm{DEC}+\angle \mathrm{OEB}=90^{\circ}$ ，
$\therefore \angle \mathrm{OED}=90^{\circ}, \therefore \mathrm{DE}$ 是 $\odot \mathrm{O}$ 的切线；
（ II ）设 $C E=1, A E=x$ ，
由已知得 $A B=2 \sqrt{3}, B E=\sqrt{12-x^{2}}$ ，
由射影定理可得 $A E^{2}=C E \bullet B E$ ，
$\therefore \mathrm{x}^{2}=\sqrt{12-\mathrm{x}^{2}}$ ，即 $\mathrm{x}^{4}+\mathrm{x}^{2}-12=0$ ，
解方程可得 $\mathrm{x}=\sqrt{3}$
$\therefore \angle \mathrm{ACB}=60^{\circ}$

【点评】本题考查圆的切线的判定，涉及射影定理和三角形的知识，属基础题