（本小题满分 10 分）选修 4－1：几何证明选讲 如图，…——2008 高考数学第 22 题答案解析

【解答】
（10分）（2008•海南）如图，过圆 O 外一点 M 作它的一条切线，切点为 A ，过 A 作直线 AP 垂直直线 $O M$ ，垂足为 $P$ ．
（1）证明： $\mathrm{OM} \cdot \mathrm{OP}=\mathrm{OA}^{2}$ ；
②N为线段 $A P$ 上一点，直线 $N B$ 垂直直线 $O N$ ，且交圆 $O$ 于 $B$ 点．过 $B$ 点的切线交直线 $O N$ 于 $K$ ．
证明：$\angle \mathrm{OKM}=90^{\circ}$ ．

【考点】与圆有关的比例线段．
【专题】压轴题。
【分析】（1）在三角形 $O A M$ 中考虑，因为 $M A$ 是圆 $O$ 的切线，所以 $O A \perp A M$ ，从而由射影定理即得；
（2）结合（1）问的结论，利用比例线段证明两个三角形 $\triangle \mathrm{ONP} , \triangle \mathrm{OMK}$ 相似，通过对应角相等即可得。
【解答】证明：①因为 MA 是圆 O 的切线，
所以 $O A \perp A M$ ，又因为 $A P \perp O M$ ，
在Rt $\triangle O A M$ 中，由射影定理知 $O A^{2}=O M \bullet O P$ ，
故 $O M \cdot O P=O A^{2}$ 得证。

（2）因为 BK 是圆 O 的切线， $\mathrm{BN} \perp \mathrm{OK}$ ，同①有：
$\mathrm{OB}^{2}=\mathrm{ON} \bullet \mathrm{OK}$ ，又 $\mathrm{OB}=\mathrm{OA}$ ，
所以 $\mathrm{OM} \bullet \mathrm{OP}=\mathrm{ON} \bullet \mathrm{OK}$ ，即 $\frac{\mathrm{ON}}{\mathrm{OP}}=\frac{\mathrm{OM}}{\mathrm{OK}}$ ，又 $\angle \mathrm{NOP}=\angle \mathrm{MOK}$ ，
所以 $\triangle \mathrm{ONP} \sim \triangle \mathrm{OMK}$ ，
故 $\angle \mathrm{OKM}=\angle \mathrm{OPN}=90^{\circ}$ ．
即有：$\angle \mathrm{OKM}=90^{\circ}$ 。
【点评】本题考查的高考考点是圆的有关知识及应用、切割线定理的运用，易错点：对有关知识掌握不到位而出错，高考对平面几何的考查一直要求不高，故要重点掌握，它是我们的得分点之一。