2021 高考数学第 19 题答案解析

19．（14分）（1）团队在 $O$ 点西侧、东侧 20 千米处设有 $A , B$ 两站点，测量距离发现一点 $P$ 满足 $|P A|-|P B|=20$ 千米，可知 $P$ 在 $A , B$ 为焦点的双曲线上，以 $O$ 点为原点，东侧为 $x$ 轴正半轴，北侧为 $y$ 轴正半轴，建立平面直角坐标系，$P$ 在北偏东 $60^{\circ}$ 处，求双曲线标准方程和 $P$ 点坐标。
（2）团队又在南侧、北侧 15 千米处设有 $C , D$ 两站点，测量距离发现 $|Q A|-|Q B|=30$ 千米，$|Q C|-|Q D|=10$ 千米，求 $|O Q|$（精确到1米）和 $Q$ 点位置（精确到1米， $1^{\circ}$ ）
【思路分析】（1）求出 $a, ~ c, ~ b$ 的值即可求得双曲线方程，求出直线 $O P$ 的方程，与双曲线方程联立，即可求得 $P$ 点坐标；
（2）分别求出以 $A , B$ 为焦点，以 $C, ~ D$ 为焦点的双曲线方程，联立即可求得点 $Q$ 的坐标，从而求得 $|O Q|$ ，及 $Q$ 点位置。