19．（14分）（1）团队在 $O$ 点西侧、东侧 20 千米处设有 $A , B$ 两站点，测量距离发现一点 $P$ 满足 $|P A|-|P B|=20$ 千米，可知 $P$ 在 $A , B$ 为焦点的双曲线上，以 $O$ 点为原点，东侧为 $x$ 轴正半轴，北侧为 $y$ 轴正半轴，建立平面直角坐标系，$P$ 在北偏东 $60^{\circ}$ 处，求双曲线标准方程和 $P$ 点坐标。
（2）团队又在南侧、北侧 15 千米处设有 $C , D$ 两站点，测量距离发现 $|Q A|-|Q B|=30$ 千米，$|Q C|-|Q D|=10$ 千米，求 $|O Q|$（精确到1米）和 $Q$ 点位置（精确到1米， $1^{\circ}$ ）
【思路分析】（1）求出 $a, ~ c, ~ b$ 的值即可求得双曲线方程，求出直线 $O P$ 的方程，与双曲线方程联立，即可求得 $P$ 点坐标；
（2）分别求出以 $A , B$ 为焦点，以 $C, ~ D$ 为焦点的双曲线方程，联立即可求得点 $Q$ 的坐标，从而求得 $|O Q|$ ，及 $Q$ 点位置。
（14分）（1）团队在 O 点西侧、东侧 20 千米处设有…——2021 高考数学第 19 题答案解析
2021_上海卷 (2021)
完整解析 · 逐步详解
【解析】：（1）由题意可得 $a=10, ~ c=20$ ，所以 $b^{2}=300$ ，
所以双曲线的标准方程为 $\frac{x^{2}}{100}-\frac{y^{2}}{300}=1$ ，
直线 $O P: y=\frac{\sqrt{3}}{3} x$ ，联立双曲线方程，可得 $x=\frac{15 \sqrt{2}}{2}, ~ y=\frac{5 \sqrt{6}}{2}$ ，
即点 $P$ 的坐标为 $\left(\frac{15 \sqrt{2}}{2}, ~ \frac{5 \sqrt{6}}{2}\right)$ ．
（2）①$|Q A|-|Q B|=30$ ，则 $a=15, ~ c=20$ ，所以 $b^{2}=175$ ，
双曲线方程为 $\frac{x^{2}}{225}-\frac{y^{2}}{175}=1$ ；
②$|Q C|-|Q D|=10$ ，则 $a=5, ~ c=15$ ，所以 $b^{2}=200$ ，
所以双曲线方程为 $\frac{y^{2}}{25}-\frac{x^{2}}{200}=1$ ，
两双曲线方程联立，得 $Q\left(\sqrt{\frac{14400}{47}}, \sqrt{\frac{2975}{47}}\right)$ ，
所以 $|O Q| \approx 19$ 米，$Q$ 点位置北偏东 $66^{\circ}$ 。
【归纳总结】本题主要考查双曲线方程在实际中的应用，属于中档题．
✅ 来源：2021年 · ?? · 2021_上海卷 (2021) · 第 19 题 · 本题已通过人工审核与系统自动校验
再练一道 · 同类压轴题
2024 区分题 · 2024_新课标 I 卷 (2024)
设双曲线 C: x^ 2 a^ 2 - y^ 2 b^ 2 =1(a>0, b>0) 的左右焦…
2022 区分题 · 2022_浙江卷 (2022)
已知双曲线 x^ 2 a^ 2 - y^ 2 b^ 2 =1(a>0, b>0) 的左焦点为…
2021 区分题 · 2021_新课标 I 卷 (2021)
在平面直角坐标系 x O y 中，已知点 F_ 1 (- 17 , 0)、 F_ 2 ( 17…