2016_新课标 I 卷 (2016·文)
17．（12分）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公差为 3 的等差数列，数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $b_{1}=1, b_{2}=\frac{1}{3}, a_{n} b_{n+1} +\mathrm{b}_{\mathrm{n}+1}=\mathrm{nb}_{\mathrm{n}}$.
（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）求 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和。
【考点】 8 H ：数列递推式．
【专题】11：计算题；40：定义法；54：等差数列与等比数列．
【分析】（I）令 $n=1$ ，可得 $a_{1}=2$ ，结合 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公差为 3 的等差数列，可得 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）由（1）可得：数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是以 1 为首项，以 $\frac{1}{3}$ 为公比的等比数列，进而可得：$\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．
【解答】解：（I）$\because a_{n} b_{n+1}+b_{n+1}=n b_{n}$ ．
当 $n=1$ 时，$\quad a_{1} b_{2}+b_{2}=b_{1}$ ．
$\because \mathrm{b}_{1}=1, \quad \mathrm{~b}_{2}=\frac{1}{3}$,
$\therefore \mathrm{a}_{1}=2$ ，
又 $\because\left\{a_{n}\right\}$ 是公差为 3 的等差数列，
$\therefore \mathrm{a}_{\mathrm{n}}=3 \mathrm{n}-1$ ，
（II）由（I）知：（ $3 n-1) b_{n+1}+b_{n+1}=n b_{n}$ ．
即 $3 \mathrm{~b}_{\mathrm{n}+1}=\mathrm{b}_{\mathrm{n}}$ 。
即数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是以 1 为首项，以 $\frac{1}{3}$ 为公比的等比数列，
$\therefore\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=\frac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}\left(1-3^{-n}\right)=\frac{3}{2}-\frac{1}{2 \cdot 3^{n-1}}$ ．
【点评】本题考查的知识点是数列的递推式，数列的通项公式，数列的前 n 项和公式，难度中档．