2021_新课标 I 卷 (2021)
18.
某学校组织＂一带一路＂知识竞赛，有 $A, B$ 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．$A$ 类问题中的每个问题回答正确得 20 分，否则得 0 分：$B$ 类问题中的每个问题回答正确得 80 分，否则得 0 分，己知小明能正确回答 $A$ 类问题的概率为 0.8 ，能正确回答 $B$ 类问题的概率为 0.6 ，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
（1）若小明先回答 $A$ 类问题，记 $X$ 为小明的累计得分，求 $X$ 的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
【答案】①见解析；②$B$ 类．
## 【解析】
【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分 $X$ 的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可。（2）与（1 ）类似，找出先回答 $B$ 类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可．
【详解】①由题可知，$X$ 的所有可能取值为 $0,20,100$ ．
$P(X=0)=1-0.8=0.2 ;$
$P(X=20)=0.8(1-0.6)=0.32 ;$
$P(X=100)=0.8 \times 0.6=0.48$ ．
所以 $X$ 的分布列为
| X | 0 | 20 | 100 |
|---|---|---|---|
| $P$ | 0.2 | 0.32 | 0.48 |
（2）由①知，$E(X)=0 \times 0.2+20 \times 0.32+100 \times 0.48=54.4$ 。
若小明先回答 $B$ 问题，记 $Y$ 为小明的累计得分，则 $Y$ 的所有可能取值为 $0,80,100$ ．
$P(Y=0)=1-0.6=0.4 ;$
$P(Y=80)=0.6(1-0.8)=0.12$ ；
$P(X=100)=0.8 \times 0.6=0.48$ ．
所以 $E(Y)=0 \times 0.4+80 \times 0.12+100 \times 0.48=57.6$ ．
因为 $54.4<57.6$ ，所以小明应选择先回答 $B$ 类问题．