（13分）（2010•北京）某同学参加3门课程的考试．假设…——2010 高考数学第 17 题答案解析

【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式。
【专题】概率与统计。
【分析】（I）由题意知事件该生至少有一门课程取得优异成绩与事件＂$\xi=0$＂是对立的，要求该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率，需要先知道该生没有一门课程优秀，根据对立事件的概率求出结果。
（II）由题意可知，需要先求出分布列中的概率 a 和 b 的值，根据互斥事件的概率和相互独立事件同时发生的概率，得到这两个值，求出概率之后，问题就变为求期望。

【解答】解：事件A表示＂该生第门课程取得优异成绩＂， $\mathrm{i}=1,2,3$ ．
由题意可知
$P\left(\mathrm{~A}_{1}\right)=\frac{4}{5}, P\left(\mathrm{~A}_{2}\right)=\mathrm{p}, P\left(\mathrm{~A}_{3}\right)=\mathrm{q}$
（I）由于事件＂该生至少有一门课程取得优异成绩＂与事件＂$\xi=0$＂是对立的， ∴ 该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率是
$1-\mathrm{P}(\xi=0)=1-\frac{6}{125}=\frac{119}{125}$
（II）由题意可知，
$\mathrm{P}(\xi=0)=\mathrm{P}\left(\overline{\mathrm{A}_{1}} \overline{\mathrm{~A}_{2}} \overline{\mathrm{~A}_{3}}\right)=\frac{1}{5}(1-\mathrm{p}) \quad(1-\mathrm{q})=\frac{6}{125}$ ，
$\mathrm{P}(\xi=3)=\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{1} \mathrm{~A}_{2} \mathrm{~A}_{3}\right)=\frac{4}{5} \mathrm{pq}=\frac{24}{125}$
整理得 $\mathrm{p}=\frac{3}{5}, ~ \mathrm{q}=\frac{2}{5}$ ．
$\because \mathrm{a}=\mathrm{P}(\xi=1)=\mathrm{P}\left(\overline{\mathrm{A}_{1}} \overline{\mathrm{~A}_{2} \mathrm{~A}_{3}}\right)+\mathrm{P}\left(\overline{\mathrm{A}_{1}} \mathrm{~A}_{2} \overline{\mathrm{~A}_{3}}\right)+\mathrm{P}\left(\overline{\mathrm{A}_{1} \mathrm{~A}_{2}} \mathrm{~A}_{3}\right)$
$=\frac{4}{5}(1-p)(1-q)+\frac{1}{5} p(1-q)+\frac{1}{5}(1-p) q$
$=\frac{37}{125}$
$\mathrm{d}=\mathrm{P}(\xi=2)=1-\mathrm{P}(\xi=0)-\mathrm{P}(\xi=1)-\mathrm{P}(\xi=3)=\frac{58}{125}$
$\therefore \mathrm{E} \xi=0 \times \mathrm{P}(\xi=0)+1 \times \mathrm{P}(\xi=1)+2 \times \mathrm{P}(\xi=2)+3 \times \mathrm{P}(\xi=3)=\frac{9}{5}$
【点评】本题课程互斥事件的概率，相互独立事件同时发生的概率，离散型随机变量的分布列和期望，是一道综合题，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题。