2013_退役省自主命题 (2013·文)
（19）（本小题满分 13 分）
设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=2, a_{2}+a_{4}=8$，且对任意 $n \in N^{*}$，函数
$f(x)=\left(a_{n}-a_{n+1}+a_{n+2}\right) x+a_{n+1} \cdot \cos x-a_{n+2} \cdot \sin x \quad$ 满足 $f^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）若 $b_{n}=2\left(a_{n}+\frac{1}{2^{a_{n}}}\right)$，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$．
由 $a_{1}=2 a_{2}+a_{4}=8$
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
【答案】由 $a_{1}=2 a_{2}+a_{4}=8$
$$ \begin{aligned} & f(x)=\left(a_{n}-a_{n+1}+a_{n+2}\right) x+a_{n+1} \cdot \cos x-a_{n+2} \cdot \sin x \\ & f^{\prime}(x)=a_{n}-a_{n+1}+a_{n+2} \cdot a_{n+1} \cdot \sin x-a_{n+2} \cdot \cos x \\ & f^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)=a_{n}-a_{n+1}+a_{n}-a_{n+1}=0 \end{aligned} $$
所以， $2 a_{n+1}=a_{n}+a_{n-2}$
$\therefore\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列．
而 $a_{1}=2 \quad a_{3}=4 \quad d^{\prime}=$。
$\therefore a_{n}=2+(n-1) \cdot 1=n+1$
②$b_{n}=2\left(a_{n}+\frac{1}{2^{a_{n}}}\right)=2\left(\because-1+\frac{1}{2^{n+1}}\right)=2(n+1)+\frac{1}{2^{n}}$
$$ S_{n}=\frac{2(2+n+1) n}{2}+\frac{\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2^{n}}\right)}{1-\frac{1}{2}} $$
$=n(n+3)+1-\frac{1}{2^{n}}$
$=n^{2}+3 n+1-\frac{1}{2^{n}}$
【解析】第（1）题，通过求导以及 $f^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$，能够判断出 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列是等差数列，由第
（1）题的结论能够写出 $b_{n}$ 的通项公式，根据 $b_{n}$ 的特征，选择求和的方法，利用分组求和的方法即可求出．
【考点定位】考查函数的求导法则和求导公式，等差、等比数列的性质和数列基本量的求解．并考查逻辑推理能力和运算能力。