（21）（本小题满分 13 分）
已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的焦距为 4，且过点 $P(\sqrt{2}, \sqrt{3})$．
（I）求椭圆 $C$ 的方程；
（II）设 $Q\left(x_{0}, y_{0}\right)\left(x_{0} y_{0} \neq 0\right)$ 为椭圆 $C$ 上一点，过点 $Q$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $E$。取点 $A(0,2 \sqrt{2})$，连接 $A E$，过点 $A$ 作 $A E$ 的垂线交 $x$ 轴于点 $D$。点 $G$ 是点 $D$ 关于 $y$ 轴的对称点，作直线 $Q G$，问这样作出的直线 $Q G$ 是否与椭圆 $C$ 一定有唯一的公共点？并说明理由．
参考答案(1) 因为椭圆过点 $P(\sqrt{2}, \sqrt{3}$ ） $$ \therefore \frac{2}{a^{2}}+\frac{3}{b^{2}}=1 \quad \text { 且 } a^{2}=b^{2}+c^{2} $$ $\therefore a^{2}=8 \quad b^{2}=4 \quad c^{2}=4$ 椭圆 C 的方程是 $\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{4}=1$; (