（21）（本小题满分 13 分） 已知椭圆 C: x^ 2…——2013 高考数学第 19 题答案解析

【答案】①因为椭圆过点 $P(\sqrt{2}, \sqrt{3}$ ）

$$ \therefore \frac{2}{a^{2}}+\frac{3}{b^{2}}=1 \quad \text { 且 } a^{2}=b^{2}+c^{2} $$

$\therefore a^{2}=8 \quad b^{2}=4 \quad c^{2}=4$ 椭圆 C 的方程是 $\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{4}=1$
②

由题意，各点的坐标如上图所示，
则 $Q G$ 的直线方拄：$\frac{y-0}{y}=\frac{x-\frac{8}{x_{0}}}{x_{0}-\frac{8}{x_{0}}}$
化简得 $x_{0} y_{0} x-\left(x_{0}{ }^{2}-8\right) y-8 y_{0}=0$
又 $x_{0}^{2}+2 y_{0}^{2}-s$，
所以 $x_{0} x+2 y_{0} y-8=0$ 带入 $\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{4}=1$
求得最后 $\Delta=0$
所以直线 $Q G$ 与椭圆只有一个公共点．
【解析】第（1）题根据题意确定 $c$ 的大小，再将 $P(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ 带入方程，确定椭圆的方程；第②题是存在性问题，根据题意，设出 $Q\left(0, y_{0}\right)$，网据条件宣出 $Q G$ 的直线方程，并进行化简，然而 $Q$点坐标又在椭圆上，带入方程，求出 $\lambda=0$，即可正 $1, F_{-}$线 $Q G$ 是否与椭圆 $C$ 一定有唯一的公共点．

【考点定位】考查椭圆的标准方程－车 j 何性质，当线和椭圆的位置关系，并考查数形结合思想，逻辑推理能力及运算能力。