2008 全国高考数学 2008_旧全国 II 卷 (2008·文) 第 22 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

22．（12分）设栯圆中心在坐标原点，$A(2,0), B(0,1)$ 是它的两个顶点 ，直线 $y=k x(k>0)$ 与 $A B$ 相交于点 $D$ ，与椭圆相交于 $E 、 F$ 两点．

（I）若 $\overrightarrow{\mathrm{ED}}=6 \overrightarrow{\mathrm{DF}}$ ，求 k 的值；
（II）求四边形AEBF面积的最大值．

Accepted Answer

【考点】96：平行向量（共线）； KH ：直线与圆锥曲线的综合． 【专题】11：计算题；16：压轴题． 【分析】（1）依题可得椭圆的方程，设直线 $A B, E F$ 的方程分别为 $x+2 y=2, y=k x$ ， $\mathrm{D}\left(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{k} \mathrm{x}_{0}ight), \mathrm{E}\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{k} \mathrm{x}_{1}ight), \mathrm{F}\left(\mathrm{x}_{2}, \mathrm{k} \mathrm{x}_{2}ight)$ ，且 $\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}$ 满足方程 $\left(1+4 \mathrm{k}^{2}ight) \mathrm{x}^{2} =4$ ，进而求得 $x_{2}$ 的表达式，进而根据 $\overrightarrow{\mathrm{ED}}=6 \overrightarrow{\mathrm{DF}}$ 求得 $x_{0}$ 的表达式，由 $D$ 在 $A B$ 上知 $x 0+2 k x_{0}=2$ ，进而求得 $x_{0}$ 的另一个表达式，两个表达式相等求得 $k$ ． （II）由题设可知 $|B O|$ 和 $|A O|$ 的值，设 $y_{1}=k x_{1}, y_{2}=k x_{2}$ ，进而可表示出四边形 $A E$ BF的面积进而根据基本不等式的性质求得最大值。 【解答】解：（I ）依题设得椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ ， 直线 $A B, E F$ 的方程分别为 $x+2 y=2, y=k x(k>0)$ ． 如图，设 $\mathrm{D}\left(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{k} \mathrm{x}_{0}ight), \mathrm{E}\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{k} \mathrm{x}_{1}ight), \mathrm{F}\left(\mathrm{x}_{2}, \mathrm{k} \mathrm{x}_{2}ight)$ ，其中 $\mathrm{x}_{1} 0$ ，根据 $E$ 与 $F$ 关于原点对称可知 $y_{2}=-y_{1}>0$ ，故四边形 $A E B F$ 的面积为 $S=S_{	riangle O B E}+S_{	riangle O B F}+S_{	riangle O A E}+S_{	riangle O A F}$ $=\frac{1}{2}|O B| \cdot\left(-x_{1}ight)+\frac{1…

2008 高考数学第 22 题答案解析

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