记 S_ n 为等比数列 a_ n 的前 n 项和，若 S…——2023 高考数学第 8 题答案解析

【答案】C

## 【解析】

**方法一**：根据等比数列的前 $n$ 项和公式求出公比，再根据 $S_{4}, S_{8}$ 的关系即可解出；
**方法二**：根据等比数列的前 $n$ 项和的性质求解．
**方法一**：设等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $q$ ，首项为 $a_{1}$ ，

若 $q=1$ ，则 $S_{6}=6 a_{1}=3 \times 2 a_{1}=3 S_{2}$ ，与题意不符，所以 $q \neq 1$ ；
由 $S_{4}=-5, S_{6}=21 S_{2}$ 可得，$\frac{a_{1}\left(1-q^{4}\right)}{1-q}=-5, \frac{a_{1}\left(1-q^{6}\right)}{1-q}=21 \times \frac{a_{1}\left(1-q^{2}\right)}{1-q}$①，
由①可得， $1+q^{2}+q^{4}=21$ ，解得：$q^{2}=4$ ，
所以 $S_{8}=\frac{a_{1}\left(1-q^{8}\right)}{1-q}=\frac{a_{1}\left(1-q^{4}\right)}{1-q} \times\left(1+q^{4}\right)=-5 \times(1+16)=-85$ ．
故选：C．
**方法二**：设等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $q$ ，
因为 $S_{4}=-5, S_{6}=21 S_{2}$ ，所以 $q \neq-1$ ，否则 $S_{4}=0$ ，

从而，$S_{2}, S_{4}-S_{2}, S_{6}-S_{4}, S_{8}-S_{6}$ 成等比数列，

所以有，$\left(-5-S_{2}\right)^{2}=S_{2}\left(21 S_{2}+5\right)$ ，解得：$S_{2}=-1$ 或 $S_{2}=\frac{5}{4}$ ，
当 $S_{2}=-1$ 时，$S_{2}, S_{4}-S_{2}, S_{6}-S_{4}, S_{8}-S_{6}$ ，即为 $-1,-4,-16, S_{8}+21$ ，
易知，$S_{8}+21=-64$ ，即 $S_{8}=-85$ ；
当 $S_{2}=\frac{5}{4}$ 时，$S_{4}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=\left(a_{1}+a_{2}\right)\left(1+q^{2}\right)=\left(1+q^{2}\right) S_{2}>0$ ，
与 $S_{4}=-5$ 矛盾，舍去．
故选：C．
【点睛】本题主要考查等比数列的前 $n$ 项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握 $S_{4}, S_{8}$ 的关系，从而减少相关量的求解，简化运算．