记 S_ n 为等比数列 a_ n 的前 n 项和．若 8…——2023 高考数学第 13 题答案解析

【答案】 $-\frac{1}{2}$

【解析】

【分析】先分析 $q \neq 1$ ，再由等比数列的前 $n$ 项和公式和平方差公式化简即可求出公比 $q$ ．

【详解】若 $q=1$ ，
则由 $8 S_{6}=7 S_{3}$ 得 $8 \cdot 6 a_{1}=7 \cdot 3 a_{1}$ ，则 $a_{1}=0$ ，不合题意

所以 $q \neq 1$ ．

当 $q \neq 1$ 时，因为 $8 S_{6}=7 S_{3}$ ，
所以 $8 \cdot \frac{a_{1}\left(1-q^{6}\right)}{1-q}=7 \cdot \frac{a_{1}\left(1-q^{3}\right)}{1-q}$ ，
即 $8 \cdot\left(1-q^{6}\right)=7 \cdot\left(1-q^{3}\right)$ ，即 $8 \cdot\left(1+q^{3}\right)\left(1-q^{3}\right)=7 \cdot\left(1-q^{3}\right)$ ，即 $8 \cdot\left(1+q^{3}\right)=7$ ，
解得 $q=-\frac{1}{2}$ ．

故答案为：$-\frac{1}{2}$